2x kužel

Rotačný kužeľ s výškou 36 cm bol rozrezaný rovinou rovnobežnou s podstavou tak, že vznikol menší rotačný kužeľ a zrezaný rotačný kužeľ. Objem týchto dvoch telies je rovnaký. Určte výšku menšieho kužeľa.

Správna odpoveď:

v₂ =  28,5732 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} v_1=36\text{cm} \\ {r}_1=1\text{cm} \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot v_1=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 1^2\cdot 36\doteq 37,6991{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=V_1/2=37,6991/2\doteq 18,8496{\text{cm}}^3 \\ {r}_1:v_1=r_2:v_2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot v_2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r_1/v_1\cdot v_2{)}^2\cdot v_2 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2/v_1^2\cdot v_2^3 \\ {v}_2=\sqrt[3]{3\cdot V_2/\pi /r_1^2\cdot v_1^2}=\sqrt[3]{3\cdot 18,8496/3,1416/1^2\cdot 36^2}\doteq 28,5732\text{cm} \\ {r}_2=r_1/v_1\cdot v_2=1/36\cdot 28,5732\doteq 0,7937\text{cm} \\ {V}_3=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot v_2=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 0,7937^2\cdot 28,5732\doteq 18,8496{\text{cm}}^3 \\ {V}_3=V_2=V_1/2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad