Triangulace - výškové úhly

Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu 39° 25´. Přijdeme-li směrem k jeho patě o 50m blíže na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu 56° 42´. Jak vysoká je věž?

Správná odpověď:

h =  89,3 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \alpha =56°42^{\prime }=56°+\frac{42}{60}°=56,7°=56,7 \\ \beta =39°25^{\prime }=39°+\frac{25}{60}°=39,4167°\doteq 39,4167 \\ a=50\text{m} \\ \mathrm{tg}\alpha =h/x \\ \mathrm{tg}\beta =h/(x+a) \\ x=h/\mathrm{tg}\alpha =h/t_1 \\ {t}_1=\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{tg}56,7°=1,522355=1,52235 \\ {t}_2=\mathrm{tg}\beta =\mathrm{tg}39,416666666667°=0,821897=0,8219 \\ {t}_2\cdot (h/t_1+a)=h \\ {t}_2\cdot h/t_1+a\cdot t_2=h \\ h=\frac{a\cdot t_1\cdot t_2}{t_1-t_2}=\frac{50\cdot 1,5224\cdot 0,8219}{1,5224-0,8219}\doteq 89,3143\text{m} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ x=h/t_1=89,3143/1,5224\doteq 58,6685\text{m} \\ {\alpha }_2=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{h}{x})=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{89,3143}{58,6685})=\frac{567}{10}=56,7{}^{\circ } \\ {\beta }_2=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{h}{x+a})=\frac{180°}{\pi }\cdot \mathrm{arctg}(\frac{89,3143}{58,6685+50})=\frac{473}{12}\doteq 39,4167{}^{\circ } \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad