V rovině 2

V rovině je umístěn trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, pro který platí: A(1, 2), B(5, 2), C(x, x+1), kde x > -1.
a) určete hodnotu x
b) určete souřadnice bodu M, který je středem úsečky AB
c) dokažte že vektory AB a CM jsou kolmé
d) určete velikost úhlu CAB
e) spočítejte obvod trojúhelníku ABC

Správná odpověď:

x =  3
Mx =  3
My =  2
o =  9,6569
CAB =  45 °

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} A=(1,2) \\ B=(5,2) \\ C=(x,x+1) \\ {c}^2=a^2+b^2 \\ |AB{|}^2=|BC{|}^2+|AC{|}^2 \\ (Bx-Ax{)}^2+(By-Ay{)}^2=(x-Bx{)}^2+(x+1-By{)}^2+(x-Ax{)}^2+(x+1-Ay{)}^2 \\ (5-1{)}^2+(2-2{)}^2=(x-5{)}^2+(x+1-2{)}^2+(x-1{)}^2+(x+1-2{)}^2 \\ -4x^2+16x-12=0 \\ 4x^2-16x+12=0 \\ 4=2^2 \\ 16=2^4 \\ 12=2^2\cdot 3 \\ \text{NSD}(4,16,12)=2^2=4 \\ {x}^2-4x+3=0 \\ a=1;b=-4;c=3 \\ D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot 3=4 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{4\pm \sqrt{4}}{2} \\ {x}_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2} \\ {x}_{1,2}=2\pm 1 \\ {x}_1=3 \\ {x}_2=1 \\ x>0;x>-1 \\ x=x_1=3 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$Mx=M_x=\frac{A_x+B_x}{2}=\frac{1+5}{2}=3$

$My=M_y=\frac{A_y+B_y}{2}=\frac{2+2}{2}=2$

$$\begin{gathered} C=(3,4) \\ a=dist(B,C)=|BC|=\sqrt{(B_x-C_x{)}^2+(B_y-C_y{)}^2}=\sqrt{(5-3{)}^2+(2-4{)}^2}=2\sqrt{2}\doteq 2,8284 \\ b=dist(A,C)=|AC|=\sqrt{(A_x-C_x{)}^2+(A_y-C_y{)}^2}=\sqrt{(1-3{)}^2+(2-4{)}^2}=2\sqrt{2}\doteq 2,8284 \\ c=dist(A,B)=|AB|=\sqrt{(A_x-B_x{)}^2+(A_y-B_y{)}^2}=\sqrt{(1-5{)}^2+(2-2{)}^2}=4 \\ o=a+b+c=2,8284+2,8284+4=9,6569 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin CAB=a:c \\ \alpha =\arcsin (a/c)=\arcsin (2,8284/4)\doteq 0,7854\text{rad} \\ CAB=\angle CAB=\alpha \to \text{°}=\alpha \cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=0,7854\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=45\text{°}=45^{\circ } \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad