Mo - kružnice

Juro zostrojil štvorec ABCD so stranou 12 cm. Do tohto štvorca narysoval štvrťkružnicu k, ktorá mala stred v bode B a prechádzala bodom A, a polkružnicu l, ktorá mala stred v strede strany BC a prechádzala bodom B. Rád by ešte zostrojil kružnicu, ktorá by ležala vnútri štvorca a dotýkala sa štvrťkružnice k, polkružnice l aj strany AB. Určte polomer takej kružnice.

Vaša odpoveď:

cm


Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.



Zobrazujem 3 komentáre:
#
Ziak
Môžete prosim vás napísať riešenie ? :)

#
Mo-radce
Nápoveda. Premýšľajte, ako by ste pomocou polomeru hľadané kružnice vyjadrili vzdialenosť jej stredu od úsečky AB, príp. BC.

Možné riešenie. Počas riešenia sa odkazujeme na obrázok, v ktorom O značí stred strany BC, S značí stred Jurkovej vytúženej kružnice h, K značí dotykový bod kružníc h a k, L značí dotykový bod kružníc hala M značí dotykový bod kružnice ha úsečky AB. Ďalej budeme odkazovať na pomocný bod E, ktorý je pätou kolmice z bodu S na stranu BC. Hľadaný polomer kružnice h v cm označíme r.

Vzdialenosť bodu S od úsečky AB je rovná r = |SM| = |EB|. Vzdialenosť bodu S od úsečky BC je rovná veľkosti úsečky SA, ktorá je odvesnou ako v pravouhlom trojuholníku SEO, tak v trojuholníku SEB. Všetky ostatné strany v oboch trojuholníkoch ľahko vyjadríme pomocou r; odtiaľ pomocou Pytagorovej vety budeme vedieť určiť neznámu r.
Body S a O sú stredy kružníc h a l, ktoré sa dotýkajú v bode L. Tieto tri body ležia na jednej priamke, vzdialenosť SO je preto rovná.
|SO| = |SL| + |LO| = R + 6
Obdobne, vzdialenosť SB je rovná
|SB| = |BK | - |KS| = 12 - r
pretože S a O sú stredy kružníc haka K je ich dotykovým bodom. Vzdialenosť OE je rovná:

|OE| = |OB| - |BE| = 6 - r

Odtiaľ az Pytagorovej vety v trojuholníkoch SEO a SEB dostávame:

|SE|² = |SO|² - |OE|² = |SB|² - |BE|²
(6 + r)² - (6 - r)² = (12 - r)² - r²
12r + 12r = 144 - 24r,
48r = 144,
r = 3.

Polomer hľadanej kružnice je 3 cm

#
Osoba
niečo jednoduchšie by nešlo?

avatar




Tipy na súvisiace online kalkulačky
Pytagorova veta je základ výpočtov aj kalkulačky pravouhlého trojuholníka.

Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:


 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2