Vpísaná kružnica

Do pravouhlého trojuholníka XYZ s pravým uhlom pri vrchole X je vpísaná kružnica s polomerom 5 cm. Určte obsah trojuholníka XYZ ak XZ=14cm.

Správna odpoveď:

S =  157,5 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} r=5 \\ y=14 \\ s=(x+y+z)\mathrm{/}2 \\ {x}^2=y^2+z^2 \\ S=sr \\ S=z_y\mathrm{/}2 \\ {z}_y\mathrm{/}2=(z+y+\sqrt{z^2+y^2})\mathrm{/}(2r) \\ z=2\cdot (y\cdot r-r^2)\mathrm{/}(y-2\cdot r)=2\cdot (14\cdot 5-5^2)\mathrm{/}(14-2\cdot 5)={\displaystyle \frac{45}{2}}=22.5 \\ x=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{14^2+22.5^2}={\displaystyle \frac{53}{2}}=26.5 \\ S=z\cdot y\mathrm{/}2=22.5\cdot 14\mathrm{/}2=157.5{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Vyskúšajte výpočet cez kalkulačku trojuholníkov.

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 2 komentáre:

Yuri

Ak sa nemýlim jedná sa o nejakú úpravu herónovho vzorca... S=sr som nepochopil odkial máme... chcem sa spýtať bez použitia herónovho vzorca by sa to nedalo?? (použiť nejakú vlastnosť vpísanej kružnice...)

5 rokov  Like

Ivo

Nas vynalez to neni; pozrite tiez:

https://cs.wikipedia.org/wiki/Kru%C5%BEnice_vepsan%C3%A1

https://sk.wikipedia.org/wiki/Trojuholn%C3%ADk#Kru.C5.BEnica_vp.C3.ADsan.C3.A1_trojuholn.C3.ADku

S = s*r

5 rokov  Like

Súvisiace a podobné príklady:

• Kružnica vpísaná
  Kružnica vpísaná do trojuholníka má polomer 3 cm. Vyjadri obsah trojuholníka pomocou a, b, c.
• Odvesna a vpísaná kružnica
  V pravouhlom trojuholníku je daná jedna odvesna dlhá 14 cm a polomer vpísanej kružnice 5 cm. Vypočítajte obsah tohto pravouhlého trojuholníka.
• Euklid bez euklida
  Majme pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C, |BC|=19, |AB|=26. Vypočítejte výšku v trojuholníka bez použitia Euklidových viet.
• Kružnica vpísaná
  Je daný trojuholník ABC a kružnica vpísaná do tohto trojuholníka s polomerom 15. Bod T je bodom dotyku vpísanej kružnice so stranou BC. Aká je plocha trojuholníka ABC ak | BT | = 25 a | TC | = 26?
• Vpísana kružnica
  Vypočítaj obvod a obsah vpísanej kružnice do trojuholníka s rozmermi 3 4 a 5 cm.
• PT - polomer vpísanej
  Máme dané strany v pravouhlom trojuholníku a=30cm, b=12,5cm. Pravý uhol je pri vrchole C. Vypočítaj polomer vpísanej kružnice.
• Pravouhlý
  Pravouhlý trojuholník KLM s pravým uhlom pri vrchole L, uhľom beta pri vrchole K a uhľom alfa u vrchole M. Uhol pri vrchole M = 65°, strana l = 17,5 cm. Pomôcť Pytagorovy vety a goniometrických funkciu vypočítate dĺžky všetkých strán a uhol pri vrchole K.
• Pravouhlý lichobežník
  Vypočítaj obsah pravouhlého lichobežníka ABCD s pravým uhlom pri vrchole A, ak |AC|=4cm, |BC|=3cm a uhlopriečka AC je kolmá na rameno BC.
• PT strany
  Vypočítajte strany pravouhlého trojuholníka, ak je zadaná, že a + b = 17cm, polomer vpísanej kružnice ρ = 2cm.
• RS trojuholník
  Rovnostrannému trojuholníku s dĺžkou strany 8 cm je opísaná aj vpísaná kružnica. O koľko cm je obvod vpísanej kružnice menší ako obvod opísanej kružnice?
• Vpísaná a opísanaj kružnica
  Vypočítaj dĺžku kružnice vpísanej a opísanej kružnice štvorci ABCD so stranou 5cm.
• V pravouhlom 8
  V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C poznáme dĺžku strany AB = 24 cm a uhol pri vrchole B = 71°. Vypočítajte dĺžku odvesien trojuholníka.
• Kružnice v kružnici
  Koľko guličiek s priemeron 3,25 cm sa zmesí do kruhu s priemerom 27 cm?
• Rovnoramenný 22
  Rovnoramenný trojuholník X'Y'Z' . Je podobný s trojuholníkom XYZ. Základňa trojuholníka XYZ má dĺžku |XY|=4cm. Veľkosť uhla pri vrchole X je 45 stupňov. Narysuj trojuholník X'Y'Z', akého základňa má dĺžku 8 cm.
• Pravouhlému
  Pravouhlému trojuholníku s odvesnou 6 cm je opísaná kružnica s polomerom 5 cm. Aká je výška na preponu tohto trojuholníka?
• Obsah PT 4
  Určte obsah pravouhlého trojuholníka, ktorého dĺžky strán tvoria po sebe idúce členy aritmetickej postupnosti a polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku je 5 cm.
• Trojuholník ABC
  V trojuholníku ABC so stranou BC dĺžky 2 cm je bod K stredom strany AB. Body L a M rozdeľujú stranu AC na tri zhodné úsečky. Trojuholník KLM je rovnoramenný s pravým uhlom pri vrchole K. Určte dĺžky strán AB, AC trojuholníka ABC.