Z6-I-6 MO 2018

V dvanásťuholníku ABCDEFGHIJKL sú každé dve susedné strany navzájom kolmé a všetky strany s výnimkou strán AL a GF sú navzájom zhodné. Strany AL a GF sú oproti ostatným stranám dvojnásobne dlhé. Úsečky BG a EL sa pretínajú v bode M a rozdeľujú dvanásťuholník na šesť útvarov (tri trojuholníky, dva štvoruholníky a jeden päťuholník). Štvoruholník EFGM má obsah 7 cm².

Určte obsahy ostatných piatich útvarov.

Správna odpoveď:

S₁ =  7 cm²
S₂ =  5 cm²
S₃ =  2 cm²
S₄ =  2 cm²
S₅ =  1 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} S_6=7{\text{cm}}^2 \\ {S}_6=(1/2+1/4+1)S_0 \\ {S}_0=S_6/(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=7/(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=4{\text{cm}}^2 \\ {S}_0=a\cdot a \\ a=\sqrt{S_0}=\sqrt{4}=2\text{cm} \\ {S}_1=S(ABML) \\ {S}_1=S_6=7=7{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_2=S(CDEMB) \\ {S}_2=(1+1/4)\cdot S_0=(1+1/4)\cdot 4=5{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_3=S(JKL) \\ {S}_3=1/2\cdot S_0=1/2\cdot 4=2{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_3=S(GIH) \\ {S}_4=S_3=2=2{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_5=S(MIJ) \\ {S}_5=\frac{1}{4}\cdot S_0=\frac{1}{4}\cdot 4=\frac{1\cdot 4}{4}=\frac{4}{4}=1{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad