Uhlopriečka 34

Uhlopriečka osového rezu rotačného valca je 6 cm a jeho povrch je 30cm štvorcových. Vypočítaj polomer podstavy.

Správna odpoveď:

r =  0,7291 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} u=6\text{cm} \\ S=30{\text{cm}}^2 \\ S=2\pi r^2+2\pi \cdot r\cdot h \\ {u}^2=(2r{)}^2+h^2 \\ {u}^2=4r^2+h^2 \\ {r}^2=(u^2-h^2)/4 \\ h=\sqrt{u^2-4r^2} \\ S=2\pi r^2+2\pi \cdot r\cdot \sqrt{u^2-4r^2} \\ \frac{S}{2\pi }=r^2+r\cdot \sqrt{u^2-4r^2}=r(r+\sqrt{(u-2r)(u+2r)}) \\ S=2\pi \cdot (u^2-h^2)/4+\pi \cdot \sqrt{u^2-h^2}\cdot h \\ 30=2\pi \cdot (6^2-h^2)/4+\pi \cdot \sqrt{6^2-h^2}\cdot h \\ {h}_1=-1,2987 \\ {h}_2=5,8201 \\ h>0 \\ h=h_2=5,8201\text{cm} \\ r=\sqrt{u^2-h^2}/2=\sqrt{6^2-5,8201^2}/2\doteq 0,7291\text{cm} \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ {S}_2=2\pi \cdot r^2+2\pi \cdot r\cdot h=2\cdot 3,1416\cdot 0,7291^2+2\cdot 3,1416\cdot 0,7291\cdot 5,8201\doteq 30,003{\text{cm}}^2 \\ {u}_2=\sqrt{4\cdot r^2+h^2}=\sqrt{4\cdot 0,7291^2+5,8201^2}=6\text{cm} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad