Archeologovia 2

Archeológovia potrebujú zistiť veľkosť nádoby, ak nájdeny črep bol v tvare kruhového odseku s dĺžkou 12 cm a výškou 3 cm. Aký je obsah tohto odseku?

Správna odpoveď:

r =  7,5 cm
S =  25,1604 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} l=12\text{cm} \\ h=3\text{cm} \\ {r}^2=(l/2{)}^2+(r-h{)}^2 \\ {r}^2=(l/2{)}^2+r^2-2hr+h^2 \\ 0=(l/2{)}^2-2hr+h^2 \\ 2hr=l^2/4+h^2 \\ r=\frac{l^2/4+h^2}{2\cdot h}=\frac{12^2/4+3^2}{2\cdot 3}=7,5\text{cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin \alpha /2=l/2:r=12/2:7,5=\frac{4}{5}=0,8=4:5 \\ \alpha =2\cdot \arcsin (\frac{l}{2\cdot r})=2\cdot \arcsin (\frac{12}{2\cdot 7,5})\doteq 1,8546\text{rad} \\ \Phi =\alpha \to \text{°}=\alpha \cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=1,8546\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=106,2602\text{°} \\ {S}_1=\frac{l}{2}\cdot (r-h)=\frac{12}{2}\cdot (7,5-3)=27{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=\pi \cdot r^2\cdot \frac{\alpha }{2\pi }=3,1416\cdot 7,5^2\cdot \frac{1,8546}{2\cdot 3,1416}\doteq 52,1604 \\ S=S_2-S_1=52,1604-27\doteq 25,1604{\text{cm}}^2 \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ {r}_2=\sqrt{(l/2{)}^2+(r-h{)}^2}=\sqrt{(12/2{)}^2+(7,5-3{)}^2}=\frac{15}{2}=7,5\text{cm} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad