V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO

V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania. Sumu 53 kocúrkovských korún však bez vydávania zaplatiť nemožno. Zistite, ktoré hodnoty mohli byť na kocúrkovských minciach. Určte aspoň dve riešenia.

Správna odpoveď:

a1 =  3
b1 =  28
a2 =  4
b2 =  19
a3 =  7
b3 =  10
a4 =  2
b4 =  55

Postup správneho riešenia:

53=ax+by 53<ax+by  a1=3
b1=28 t1=18 a1+0 b1=18 3+0 28=54 t2=9 a1+1 b1=9 3+1 28=55 t3=0 a1+2 b1=0 3+2 28=56  b1=28
a2=4
b2=19 t4=4 a2+2 b2=4 4+2 19=54 t5=9 a2+1 b2=9 4+1 19=55 t6=14 a2+0 b2=14 4+0 19=56 t7=0 a2+3 b2=0 4+3 19=57 
a3=7
b3=10
a4=2
b4=55 t8=27 a4+0 b4=27 2+0 55=54 t9=0 a4+1 b4=0 2+1 55=55 t10=28 a4+0 b4=28 2+0 55=56 



Našiel si chybu či nepresnosť? Kľudne nám ju napíš.




Najobľúbenejšie komentáre:
#
Žiak
ako to mám odvôvodniť?

2 roky  7 Likes
Zobrazujem 13 komentárov:
#
Markie
2, 55

#
Markie
2, 55
3, 28
4, 19
7, 10

ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...

2 roky  2 Likes
#
Markie
a<b
a*b -b -a = 53

beriem spat ;-)

2 roky  1 Like
#
Žiak
ako to mám odvôvodniť?

2 roky  7 Likes
#
Žiiiaaak
taky by mě zajímalo

#
Franta
Frobeniovo číslo
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.

Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.

Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.

Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54

Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10

#
Slniecko
V texte sa píše:" Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania." Ako viete pomocou mincí napr. 3 a 28 zaplatiť sumu 54?

#
Slniecko
nie, 54, ale 55 tam malo byť (  mojom pôvodnom texte ).

#
Matematik
3*9+28*1=55

... zasnem ze si ludia aspon elementarne overenie toho co tvrdia nevyskusaju na kalkulacke,,, alebo na internete:

https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/celociselne-diofantove-rovnice?input=3a%2B28b%3D55&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj

Je to ako pravo volit - ma ho kazdy. Ludia volia pocitmi, emociami, cize si zvolia zlych zastupcov... Pripadne takych ktory ich uplatia predvolebnou korupciou (zvysenie dochodkov, 13. dochodok...).  Urcite by pravo volit malo byt nejak zmenene, napr. kazdy hlas by mal vahu rocnych dani ktore plati volič štátu. Kto platí málo, jeho hlas bude oslabený. Kto neplatí nič, bude mať nulový hlas.To bu potom do parlamentu neboli populisti vobec zvoleny.

#
Franta
Pane "Matematiku", velkým nebezpečím každé společnosti je arogance

#
Žiak
Nemôže to byť jednoducho 53 a 1? :D

#
Žiak
myslím 54 a 1, nie 53 a 1

#
Matematik
tak skusme: 54 = 55a+2b

a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0

a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7

cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...

avatar







Tipy na súvisiace online kalkulačky
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Chcete previesť delenie prirodzených čísel - zistiť podiel a zvyšok?

 
Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1   video2   video3   video4   video5   video6

Súvisiace a podobné príklady: