Tajný poklad

Skauti mají stan ve tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu se stranou podstavy 4 m a výšce 3 m. Do stanu potřebují schovat válcovou nádobu s tajným pokladem. Určete poloměr r (a výšku h) nádoby tak, aby mohli schovat co nejobjemnější poklad.

Správná odpověď:

r =  1,3333 m
h =  1 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} a=4\text{m} \\ v=3\text{m} \\ {s}^2=(a/2{)}^2+v^2 \\ s=\sqrt{(a/2{)}^2+v^2}=\sqrt{(4/2{)}^2+3^2}=\sqrt{13}\text{m}\doteq 3,6056\text{m} \\ (v-h):r=v:a/2 \\ v=h+r\cdot v:a/2 \\ h=v-r\cdot 2v/a \\ V=\pi r^{2}h \\ V=\pi r^2(v-r\cdot 2v/a) \\ V=\pi r^2(v-r\cdot 2v/a) \\ V=\pi r^2(3-r\cdot 2\cdot 3/4) \\ {V}^{\prime }=3/2\cdot \pi (a-vr)r \\ {V}^{\prime }=0 \\ 3/2\pi \cdot (a-vr)r=0 \\ 3/2\cdot pi\cdot (4-3r)r=0 \\ 3/2\cdot 3,1415926\cdot (4-3r)r=0 \\ -14,1371667r^2+18,85r=0 \\ 14,1371667r^2-18,85r=0 \\ a=14,137167;b=-18,85;c=-0 \\ D=b^2-4ac=18,85^2-4\cdot 14,137167\cdot -0=355,3057463175 \\ D>0 \\ {r}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{18,85\pm \sqrt{355,31}}{28,274333} \\ {r}_{1,2}=0,666667\pm 0,666667 \\ {r}_1=1,333333333 \\ {r}_2=0 \\ r=r_1=1,3333=1,3333\text{m} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$h=v-r\cdot 2\cdot v/a=3-1,3333\cdot 2\cdot 3/4=1\text{m}$

Zkusit jiný příklad