Poklad

Skauti majú stan v tvare pravidelného štvorbokého ihlanu so stranou podstavy 4 m a výške 3 m. Do stanu potrebujú schovať valcovú nádobu s tajným pokladom. Určte polomer r (a výšku h) nádoby tak, aby mohli schovať čo nejobjemnější poklad.

Správny výsledok:

r =  1,3333 m
h =  1 m

Riešenie:

$$\begin{gathered} a=4\text{ m } \\ v=3\text{ m } \\ {s}^2=(a\mathrm{/}2{)}^2+v^2 \\ s=\sqrt{(a\mathrm{/}2{)}^2+v^2}=\sqrt{(4\mathrm{/}2{)}^2+3^2}=\sqrt{13}\text{ m}\doteq 3.6056\text{ m } \\ (v-h):r=v:a\mathrm{/}2 \\ v=h+r\cdot v:a\mathrm{/}2 \\ h=v-r\cdot 2v\mathrm{/}a \\ V=\pi r^{2}h \\ V=\pi r^2(v-r\cdot 2v\mathrm{/}a) \\ V=\pi r^2(v-r\cdot 2v\mathrm{/}a) \\ V=\pi r^2(3-r\cdot 2\cdot 3\mathrm{/}4) \\ {V}^{\mathrm{\prime }}=3\mathrm{/}2\pi (a-vr)r \\ {V}^{\mathrm{\prime }}=0 \\ 3\mathrm{/}2\pi \cdot (a-vr)r=0 \\ 3\mathrm{/}2\ast pi\ast (4-3r)r=0 \\ 3\mathrm{/}2\cdot 3.1415926\cdot (4-3r)r=0 \\ -14.1371667r^2+18.85r=0 \\ 14.1371667r^2-18.85r=0 \\ a=14.1371667;b=-18.85;c=-0 \\ D=b^2-4ac=18.85^2-4\cdot 14.1371667\cdot -0=355.305746317 \\ D>0 \\ {r}_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}={\displaystyle \frac{18.85\pm \sqrt{355.31}}{28.2743334}} \\ {r}_{1,2}=0.66666667\pm 0.666666666667 \\ {r}_1=1.33333333333 \\ {r}_2=0 \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \\ 14.1371667(r-1.33333333333)r=0 \\ r=r_1=1.3333={\displaystyle \frac{4}{3}}=1.3333\text{ m} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .

$h=v-r\cdot 2\cdot v\mathrm{/}a=3-1.3333\cdot 2\cdot 3\mathrm{/}4=1\text{ m}$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 2 komentáre:

Žiak

Nie je dobre vyriešený príklad.

7 mesiacov  Like

Matematik

Ahoj, a co konkretne je nespravne? Skontroloval som aj podobnost trojuholnikov - ok. Aj derivovanie aj najdenie maxima. Aj wolfram najde maximum objemu  rovnake:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximum+%CF%80*r%5E2+*%283%E2%88%92r*2*3%2F4%29+

3 mesiace  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Plocha stanu
  Vypočítaj, koľko plátna ( bez podlahy ) sa spotrebuje na zhotovenie stanu, ktorý má tvar pravidelného štvorbokého ihlana. Hrana podstavy má dĺžku 3 m a výška stanu je 2m .
• V rekreačnej
  V rekreačnej oblasti sa má postaviť bazén v tvare kvádra s objemom 200m3. Jeho dĺžka má byť 4- násobkom šírky, pričom cena 1 m² dna bazéna je 2- krát lacnejšia ako 1 m² steny bazéna. Aké rozmery musí mať bazén, aby stavba bola najlacnejšia?
• 3boký ihlan
  Aký je objem pravidelného trojbokého ihlanu so stranou 3cm?
• Stan
  Stan tvaru pravidelného štvorbokého ihlanu má dĺžku podstavnej hrany a = 2m a výšku v = 1,8m. Koľko m² plátna potrebujeme na ušitie stanu, ak musíme chcete pridať 7% na švy? Koľko m³ vzduchu bude v stane?
• Ihlan 4b
  Vypočítajte povrch S a objem V pravidelného štvorbokého ihlanu so stranou podstavy a = 5 m a telesovou výškou 14 m.
• Rez ihlana
  Pravidelný ihlan so štvorcovou podstavou rozrežeme rovinou rovnobežnou s podstavou na dve časti (pozrite obrázok). Objem vzniknutého menšieho ihlana tvorí 20 % objemu pôvodného ihlana. Podstava vzniknutého menšieho ihlana má obsah 10 cm². Určte v centimet
• Valcové príklady
  1. Určte rozmery valcovej nádoby s objemom 5 litrov, ak výška nádoby sa rovná polomeru podstavy. 2. V pohári valcovitého tvaru s vnútorným priemerom 8 cm sú 3 dl džúsu. Vypočítajte plochu džúsom zmáčanej časti pohára. 3. Konzerva s uhorkami má tvar valca.
• Ukážte 2
  Ukážte (pomocou Menealovej vety), že ťažisko delí ťažnicu v pomere 1:2.
• Stan 6
  Koľko m² látky treba na zhotovenie stanu pravidelného 3-bokeho hranola ak treba počítať s 2%rezervou látky? Rozmery - 2m 1,6m a výška 1,4 m
• Guľa
  Získajte rovnicu guľovej plochy so stredom na čiare 3x + 2z = 0 = 4x-5y a prechádza bodmi (0, -2, -4) a (2, -1,1).
• Štvorboký
  Pravidelný štvorboký ihlan má objem 24dm3 a podstavnou hranu a = 4 dm. Vypočítajte: a/výšku ihlanu b/výšku pobočnom steny c/povrch ihlanu
• Lichobežník plocha
  Plocha lichobežníka je 266. Čo je hodnota x ak sú základne dlhé: b1 je 2x-3, b2 je 2x + 1 a výška h je x + 4
• Stan iglu
  Stan v tvare kužeľa je vysoký 3 m, priemer jeho podstavy je 3,2 m. a) Stan je vyrobený je z dvoch vrstiev materiálu. Koľko m² látky treba na výrobu (vrátane podlahy), ak k minimálnemu množstvu treba kvôli odpadu pri strihaní pridať 20 %? b) Koľko m³ vzduc
• Je štvorboký
  Je štvorboký ihlan, ktorý má podstavu obdĺžnik s rozmermi 24cm, 13cm. Výška ihlanu je 18cm. Vypočítajte: 1/obsah podstavy 2/obsah plášťa 3/povrch ihlanu 4/objem ihlanu
• Plášť ihlana
  Vypočítajte obsah plášťa štvorbokého ihlanu vysokého 2,5 m s obdĺžnikovou podstavou s rozmermi 2,8 m a 1,4 m.
• Stan 8
  Stan tvaru ihlana má podstavu štvoreca s veľkosťou strany 2,2m a výšku 1,8m. Koľko metrov štvorcových stanového plátna je treba na jeho zhotovenie ak počítame päť percent naviac na založenie?
• Strecha
  1/3 plochy strechy v tvare pravidelného štvorbokého ihlana s hranou podstavy 9 m a výškou 4 m je už pokrytá krytinou. Koľko treba ešte pokryť?