Rovnostranny kužel

Do nádoby tvaru rovnostranného kužele, jehož podstava má poloměr r = 6 cm nalijeme tolik vody, že se naplní jedna třetina objemu kužele. Do jaké výšky bude sahat voda, pokud kužel obrátíme dnem vzhůru?

Správná odpověď:

x =  1,3138 cm

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=6\text{cm} \\ s=d=2r \\ s=2\cdot r=2\cdot 6=12\text{cm} \\ {s}^2=r^2+h^2 \\ h=\sqrt{s^2-r^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}\text{cm}\doteq 10,3923\text{cm} \\ V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 6^2\cdot 10,3923\doteq 391,7807{\text{cm}}^3 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot V=\frac{1}{3}\cdot 391,7807\doteq 130,5936{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=V-V_1=391,7807-130,5936\doteq 261,1871{\text{cm}}^3 \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot h_2 \\ {r}_2:h_2=r:h \\ {V}_2=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (r/h\cdot h_2{)}^2\cdot h_2 \\ 3\cdot V_2/\pi =r^2/h^2\cdot h_2^2\cdot h_2 \\ 3\cdot V_2/\pi =r^2/h^2\cdot h_2^3 \\ {h}_2=\sqrt[3]{\frac{3\cdot V_2\cdot h^2}{\pi \cdot r^2}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot 261,1871\cdot 10,3923^2}{3,1416\cdot 6^2}}\doteq 9,0785\text{cm} \\ x=h-h_2=10,3923-9,0785\doteq 1,3138\text{cm} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {r}_2=h_2\cdot r/h=9,0785\cdot 6/10,3923\doteq 5,2415\text{cm} \\ {V}_{22}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_2^2\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 5,2415^2\cdot 9,0785\doteq 261,1871{\text{cm}}^3 \\ {V}_{22}=V_2 \\ {r}_1:h_1=r:h \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot h_1 \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot (r_1\cdot h/r) \\ {V}_1=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^3\cdot (h/r) \\ {r}_1=\sqrt[3]{3\cdot V_1\cdot r/(\pi \cdot h)}=\sqrt[3]{3\cdot 130,5936\cdot 6/(3,1416\cdot 10,3923)}\doteq 4,1602\text{cm} \\ {h}_1=r_1\cdot h/r=4,1602\cdot 10,3923/6\doteq 7,2056\text{cm} \\ {V}_{11}=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r_1^2\cdot h_1=\frac{1}{3}\cdot 3,1416\cdot 4,1602^2\cdot 7,2056\doteq 130,5936{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad