Most přes řeku

Most přes řeku je ve tvaru oblouku kruhu s každou základnou mostu na břehu řeky. Ve středu řeky je most 10 stop (ft, feet) nad vodou. 27 stop od okraje řeky je most 9 metrů nad vodou. Jak široká je řeka?

Správná odpověď:

a =  80 ft

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} r=10+x \\ {r}^2=x^2+(27+y{)}^2 \\ {r}^2=(9+x{)}^2+y^2 \\ (10+x{)}^2=x^2+(27+y{)}^2 \\ (10+x{)}^2=(9+x{)}^2+y^2 \\ 20x=y^2+54y+629 \\ 2x+19=y^2 \\ 20\cdot (y^2-19)/2=y^2+54y+629 \\ 20\cdot (y^2-19)/2=y^2+54y+629 \\ 9y^2-54y-819=0 \\ 9=3^2 \\ 54=2\cdot 3^3 \\ 819=3^2\cdot 7\cdot 13 \\ \text{NSD}(9,54,819)=3^2=9 \\ {y}^2-6y-91=0 \\ a=1;b=-6;c=-91 \\ D=b^2-4ac=6^2-4\cdot 1\cdot (-91)=400 \\ D>0 \\ {y}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{6\pm \sqrt{400}}{2} \\ {y}_{1,2}=\frac{6\pm 20}{2} \\ {y}_{1,2}=3\pm 10 \\ {y}_1=13 \\ {y}_2=-7 \\ x>0;y>0;r>0 \\ y=y_1=13\text{ft} \\ x=(y^2-19)/2=(13^2-19)/2=75\text{ft} \\ r=10+x=10+75=85\text{ft} \\ a=2\cdot 27+2\cdot y=2\cdot 27+2\cdot 13=80\text{ft} \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad