Komplexné čísla kalkulačka

Existuje 24 riešení, v dôsledku “Základnej vety algebry“. Váš výraz obsahuje druhé (a vyššie) odmocniny z komplexného čísla resp. umocnenia na 1/n.

z₁ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,3986959-0,4771303i = 2,4456891 × e^{i -0,1963495} = 2,4456891 × e^{i (-0,0625) π} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i -0,1963495} = 1,2228445 × e^{i (-0,0625) π} = 1,1993479-0,2385651i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (1,1993479-0,2385651i) * 2 = 2,3986959-0,4771303i

Výsledok z₁

Algebraický tvar:
z = 2,3986959-0,4771303i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -11°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-11°15') + i sin (-11°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -0,1963495} = 2,4456891 × e^{i (-0,0625) π}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -0,1963495 rad = -11,25° = -11°15' = -0,0625π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,3986959-0,4771303i
Reálna časť: x = Re z = 2,399
Imaginárna časť: y = Im z = -0,47713027

z₂ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,0335162+1,3587521i = 2,4456891 × e^{i 3π/16} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 3π/16} = 1,0167581+0,679376i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (1,0167581+0,679376i) * 2 = 2,0335162+1,3587521i

Výsledok z₂

Algebraický tvar:
z = 2,0335162+1,3587521i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 33°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 33°45' + i sin 33°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 0,5890486} = 2,4456891 × e^{i 3π/16}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 0,5890486 rad = 33,75° = 33°45' = 0,1875π = 3π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,0335162+1,3587521i
Reálna časť: x = Re z = 2,034
Imaginárna časť: y = Im z = 1,35875206

z₃ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 0,4771303+2,3986959i = 2,4456891 × e^{i 7π/16} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 7π/16} = 0,2385651+1,1993479i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (0,2385651+1,1993479i) * 2 = 0,4771303+2,3986959i

Výsledok z₃

Algebraický tvar:
z = 0,4771303+2,3986959i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 78°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 78°45' + i sin 78°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 1,3744468} = 2,4456891 × e^{i 7π/16}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 1,3744468 rad = 78,75° = 78°45' = 0,4375π = 7π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 0,4771303+2,3986959i
Reálna časť: x = Re z = 0,477
Imaginárna časť: y = Im z = 2,39869586

z₄ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,3587521+2,0335162i = 2,4456891 × e^{i 11π/16} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 11π/16} = -0,679376+1,0167581i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-0,679376+1,0167581i) * 2 = -1,3587521+2,0335162i

Výsledok z₄

Algebraický tvar:
z = -1,3587521+2,0335162i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 123°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 123°45' + i sin 123°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 2,1598449} = 2,4456891 × e^{i 11π/16}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 2,1598449 rad = 123,75° = 123°45' = 0,6875π = 11π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -1,3587521+2,0335162i
Reálna časť: x = Re z = -1,359
Imaginárna časť: y = Im z = 2,03351616

z₅ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,3986959+0,4771303i = 2,4456891 × e^{i 15π/16} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 15π/16} = -1,1993479+0,2385651i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-1,1993479+0,2385651i) * 2 = -2,3986959+0,4771303i

Výsledok z₅

Algebraický tvar:
z = -2,3986959+0,4771303i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 168°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 168°45' + i sin 168°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 2,9452431} = 2,4456891 × e^{i 15π/16}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 2,9452431 rad = 168,75° = 168°45' = 0,9375π = 15π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,3986959+0,4771303i
Reálna časť: x = Re z = -2,399
Imaginárna časť: y = Im z = 0,47713027

z₆ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,0335162-1,3587521i = 2,4456891 × e^{i (-13π/16)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-13π/16)} = -1,0167581-0,679376i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-1,0167581-0,679376i) * 2 = -2,0335162-1,3587521i

Výsledok z₆

Algebraický tvar:
z = -2,0335162-1,3587521i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -146°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-146°15') + i sin (-146°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -2,552544} = 2,4456891 × e^{i (-13π/16)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -2,552544 rad = -146,25° = -146°15' = -0,8125π = -13π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,0335162-1,3587521i
Reálna časť: x = Re z = -2,034
Imaginárna časť: y = Im z = -1,35875206

z₇ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -0,4771303-2,3986959i = 2,4456891 × e^{i (-9π/16)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-9π/16)} = -0,2385651-1,1993479i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-0,2385651-1,1993479i) * 2 = -0,4771303-2,3986959i

Výsledok z₇

Algebraický tvar:
z = -0,4771303-2,3986959i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -101°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-101°15') + i sin (-101°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -1,7671459} = 2,4456891 × e^{i (-9π/16)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -1,7671459 rad = -101,25° = -101°15' = -0,5625π = -9π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -0,4771303-2,3986959i
Reálna časť: x = Re z = -0,477
Imaginárna časť: y = Im z = -2,39869586

z₈ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,3587521-2,0335162i = 2,4456891 × e^{i (-5π/16)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-5π/16)} = 0,679376-1,0167581i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = 2
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (0,679376-1,0167581i) * 2 = 1,3587521-2,0335162i

Výsledok z₈

Algebraický tvar:
z = 1,3587521-2,0335162i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -56°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-56°15') + i sin (-56°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -0,9817477} = 2,4456891 × e^{i (-5π/16)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -0,9817477 rad = -56,25° = -56°15' = -0,3125π = -5π/16 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 1,3587521-2,0335162i
Reálna časť: x = Re z = 1,359
Imaginárna časť: y = Im z = -2,03351616

z₉ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -0,786141+2,3158967i = 2,4456891 × e^{i 29π/48} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i -0,1963495} = 1,2228445 × e^{i (-0,0625) π} = 1,1993479-0,2385651i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (1,1993479-0,2385651i) * (-1+1,7320508i) = 1,19934793 * (-1) + 1,19934793 * 1,7320508076i + (-0,2385651361i) * (-1) + (-0,2385651361i) * 1,7320508076i = -1,19934793+2,07733155i+0,23856514i-0,41320694i² = -1,19934793+2,07733155i+0,23856514i+0,41320694 = -1,19934793 + 0,41320694 +i(2,07733155 + 0,23856514) = -0,786141+2,3158967i
iný postup

1,2228445 × e^{i -0,1963495} = 1,2228445 × e^{i (-0,0625) π} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-0,0625)+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i 29π/48} = -0,786141+2,3158967i

Výsledok z₉

Algebraický tvar:
z = -0,786141+2,3158967i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 108°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 108°45' + i sin 108°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 1,8980456} = 2,4456891 × e^{i 29π/48}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 1,8980456 rad = 108,75° = 108°45' = 0,6041667π = 29π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -0,786141+2,3158967i
Reálna časť: x = Re z = -0,786
Imaginárna časť: y = Im z = 2,31589669

z₁₀ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,1934719+1,0817006i = 2,4456891 × e^{i 41π/48} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 3π/16} = 1,0167581+0,679376i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (1,0167581+0,679376i) * (-1+1,7320508i) = 1,0167580798154 * (-1) + 1,0167580798154 * 1,7320508076i + 0,67937602882697i * (-1) + 0,67937602882697i * 1,7320508076i = -1,01675808+1,76107665i-0,67937603i+1,1767138i² = -1,01675808+1,76107665i-0,67937603i-1,1767138 = -1,01675808 - 1,1767138 +i(1,76107665 - 0,67937603) = -2,1934719+1,0817006i
iný postup

1,2228445 × e^{i 3π/16} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i (3π/16+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i 41π/48} = -2,1934719+1,0817006i

Výsledok z₁₀

Algebraický tvar:
z = -2,1934719+1,0817006i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 153°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 153°45' + i sin 153°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 2,6834437} = 2,4456891 × e^{i 41π/48}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 2,6834437 rad = 153,75° = 153°45' = 0,8541667π = 41π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,1934719+1,0817006i
Reálna časť: x = Re z = -2,193
Imaginárna časť: y = Im z = 1,08170062

z₁₁ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,3158967-0,786141i = 2,4456891 × e^{i (-43π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 7π/16} = 0,2385651+1,1993479i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (0,2385651+1,1993479i) * (-1+1,7320508i) = 0,2385651361 * (-1) + 0,2385651361 * 1,7320508076i + 1,19934793i * (-1) + 1,19934793i * 1,7320508076i = -0,23856514+0,41320694i-1,19934793i+2,07733155i² = -0,23856514+0,41320694i-1,19934793i-2,07733155 = -0,23856514 - 2,07733155 +i(0,41320694 - 1,19934793) = -2,3158967-0,786141i
iný postup

1,2228445 × e^{i 7π/16} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i (7π/16+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i (-43π/48)} = -2,3158967-0,786141i

Výsledok z₁₁

Algebraický tvar:
z = -2,3158967-0,786141i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -161°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-161°15') + i sin (-161°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -2,8143434} = 2,4456891 × e^{i (-43π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -2,8143434 rad = -161,25° = -161°15' = -0,8958333π = -43π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,3158967-0,786141i
Reálna časť: x = Re z = -2,316
Imaginárna časť: y = Im z = -0,78614099

z₁₂ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,0817006-2,1934719i = 2,4456891 × e^{i (-31π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 11π/16} = -0,679376+1,0167581i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-0,679376+1,0167581i) * (-1+1,7320508i) = -0,67937602882697 * (-1) + (-0,67937602882697) * 1,7320508076i + 1,0167580798154i * (-1) + 1,0167580798154i * 1,7320508076i = 0,67937603-1,1767138i-1,01675808i+1,76107665i² = 0,67937603-1,1767138i-1,01675808i-1,76107665 = 0,67937603 - 1,76107665 +i(-1,1767138 - 1,01675808) = -1,0817006-2,1934719i
iný postup

1,2228445 × e^{i 11π/16} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i (11π/16+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i (-31π/48)} = -1,0817006-2,1934719i

Výsledok z₁₂

Algebraický tvar:
z = -1,0817006-2,1934719i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -116°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-116°15') + i sin (-116°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -2,0289453} = 2,4456891 × e^{i (-31π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -2,0289453 rad = -116,25° = -116°15' = -0,6458333π = -31π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -1,0817006-2,1934719i
Reálna časť: x = Re z = -1,082
Imaginárna časť: y = Im z = -2,19347188

z₁₃ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 0,786141-2,3158967i = 2,4456891 × e^{i (-19π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 15π/16} = -1,1993479+0,2385651i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-1,1993479+0,2385651i) * (-1+1,7320508i) = -1,19934793 * (-1) + (-1,19934793) * 1,7320508076i + 0,2385651361i * (-1) + 0,2385651361i * 1,7320508076i = 1,19934793-2,07733155i-0,23856514i+0,41320694i² = 1,19934793-2,07733155i-0,23856514i-0,41320694 = 1,19934793 - 0,41320694 +i(-2,07733155 - 0,23856514) = 0,786141-2,3158967i
iný postup

1,2228445 × e^{i 15π/16} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i (15π/16+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i (-19π/48)} = 0,786141-2,3158967i

Výsledok z₁₃

Algebraický tvar:
z = 0,786141-2,3158967i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -71°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-71°15') + i sin (-71°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -1,2435471} = 2,4456891 × e^{i (-19π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -1,2435471 rad = -71,25° = -71°15' = -0,3958333π = -19π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 0,786141-2,3158967i
Reálna časť: x = Re z = 0,786
Imaginárna časť: y = Im z = -2,31589669

z₁₄ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,1934719-1,0817006i = 2,4456891 × e^{i (-7π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-13π/16)} = -1,0167581-0,679376i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-1,0167581-0,679376i) * (-1+1,7320508i) = -1,0167580798154 * (-1) + (-1,0167580798154) * 1,7320508076i + (-0,67937602882697i) * (-1) + (-0,67937602882697i) * 1,7320508076i = 1,01675808-1,76107665i+0,67937603i-1,1767138i² = 1,01675808-1,76107665i+0,67937603i+1,1767138 = 1,01675808 + 1,1767138 +i(-1,76107665 + 0,67937603) = 2,1934719-1,0817006i
iný postup

1,2228445 × e^{i (-13π/16)} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-13π/16)+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i (-7π/48)} = 2,1934719-1,0817006i

Výsledok z₁₄

Algebraický tvar:
z = 2,1934719-1,0817006i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -26°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-26°15') + i sin (-26°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -0,4581489} = 2,4456891 × e^{i (-7π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -0,4581489 rad = -26,25° = -26°15' = -0,1458333π = -7π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,1934719-1,0817006i
Reálna časť: x = Re z = 2,193
Imaginárna časť: y = Im z = -1,08170062

z₁₅ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,3158967+0,786141i = 2,4456891 × e^{i 0,3272492} = 2,4456891 × e^{i 0,1041667 π} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-9π/16)} = -0,2385651-1,1993479i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-0,2385651-1,1993479i) * (-1+1,7320508i) = -0,2385651361 * (-1) + (-0,2385651361) * 1,7320508076i + (-1,19934793i) * (-1) + (-1,19934793i) * 1,7320508076i = 0,23856514-0,41320694i+1,19934793i-2,07733155i² = 0,23856514-0,41320694i+1,19934793i+2,07733155 = 0,23856514 + 2,07733155 +i(-0,41320694 + 1,19934793) = 2,3158967+0,786141i
iný postup

1,2228445 × e^{i (-9π/16)} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-9π/16)+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i 0,3272492} = 2,4456891 × e^{i 0,1041667 π} = 2,3158967+0,786141i

Výsledok z₁₅

Algebraický tvar:
z = 2,3158967+0,786141i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 18°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 18°45' + i sin 18°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 0,3272492} = 2,4456891 × e^{i 0,1041667 π}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 0,3272492 rad = 18,75° = 18°45' = 0,1041667π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,3158967+0,786141i
Reálna časť: x = Re z = 2,316
Imaginárna časť: y = Im z = 0,78614099

z₁₆ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,0817006+2,1934719i = 2,4456891 × e^{i 17π/48} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-5π/16)} = 0,679376-1,0167581i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1+1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (0,679376-1,0167581i) * (-1+1,7320508i) = 0,67937602882697 * (-1) + 0,67937602882697 * 1,7320508076i + (-1,0167580798154i) * (-1) + (-1,0167580798154i) * 1,7320508076i = -0,67937603+1,1767138i+1,01675808i-1,76107665i² = -0,67937603+1,1767138i+1,01675808i+1,76107665 = -0,67937603 + 1,76107665 +i(1,1767138 + 1,01675808) = 1,0817006+2,1934719i
iný postup

1,2228445 × e^{i (-5π/16)} × 2 × e^{i 2π/3} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-5π/16)+2π/3)} = 2,4456891 × e^{i 17π/48} = 1,0817006+2,1934719i

Výsledok z₁₆

Algebraický tvar:
z = 1,0817006+2,1934719i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 63°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 63°45' + i sin 63°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 1,1126474} = 2,4456891 × e^{i 17π/48}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 1,1126474 rad = 63,75° = 63°45' = 0,3541667π = 17π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 1,0817006+2,1934719i
Reálna časť: x = Re z = 1,082
Imaginárna časť: y = Im z = 2,19347188

z₁₇ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,6125549-1,8387664i = 2,4456891 × e^{i (-35π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i -0,1963495} = 1,2228445 × e^{i (-0,0625) π} = 1,1993479-0,2385651i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (1,1993479-0,2385651i) * (-1-1,7320508i) = 1,19934793 * (-1) + 1,19934793 * (-1,7320508076i) + (-0,2385651361i) * (-1) + (-0,2385651361i) * (-1,7320508076i) = -1,19934793-2,07733155i+0,23856514i+0,41320694i² = -1,19934793-2,07733155i+0,23856514i-0,41320694 = -1,19934793 - 0,41320694 +i(-2,07733155 + 0,23856514) = -1,6125549-1,8387664i
iný postup

1,2228445 × e^{i -0,1963495} = 1,2228445 × e^{i (-0,0625) π} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-0,0625)+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i (-35π/48)} = -1,6125549-1,8387664i

Výsledok z₁₇

Algebraický tvar:
z = -1,6125549-1,8387664i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -131°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-131°15') + i sin (-131°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -2,2907446} = 2,4456891 × e^{i (-35π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -2,2907446 rad = -131,25° = -131°15' = -0,7291667π = -35π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -1,6125549-1,8387664i
Reálna časť: x = Re z = -1,613
Imaginárna časť: y = Im z = -1,83876641

z₁₈ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 0,1599557-2,4404527i = 2,4456891 × e^{i (-23π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 3π/16} = 1,0167581+0,679376i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (1,0167581+0,679376i) * (-1-1,7320508i) = 1,0167580798154 * (-1) + 1,0167580798154 * (-1,7320508076i) + 0,67937602882697i * (-1) + 0,67937602882697i * (-1,7320508076i) = -1,01675808-1,76107665i-0,67937603i-1,1767138i² = -1,01675808-1,76107665i-0,67937603i+1,1767138 = -1,01675808 + 1,1767138 +i(-1,76107665 - 0,67937603) = 0,1599557-2,4404527i
iný postup

1,2228445 × e^{i 3π/16} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i (3π/16+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i (-23π/48)} = 0,1599557-2,4404527i

Výsledok z₁₈

Algebraický tvar:
z = 0,1599557-2,4404527i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -86°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-86°15') + i sin (-86°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -1,5053465} = 2,4456891 × e^{i (-23π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -1,5053465 rad = -86,25° = -86°15' = -0,4791667π = -23π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 0,1599557-2,4404527i
Reálna časť: x = Re z = 0,16
Imaginárna časť: y = Im z = -2,44045268

z₁₉ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,8387664-1,6125549i = 2,4456891 × e^{i (-11π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 7π/16} = 0,2385651+1,1993479i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (0,2385651+1,1993479i) * (-1-1,7320508i) = 0,2385651361 * (-1) + 0,2385651361 * (-1,7320508076i) + 1,19934793i * (-1) + 1,19934793i * (-1,7320508076i) = -0,23856514-0,41320694i-1,19934793i-2,07733155i² = -0,23856514-0,41320694i-1,19934793i+2,07733155 = -0,23856514 + 2,07733155 +i(-0,41320694 - 1,19934793) = 1,8387664-1,6125549i
iný postup

1,2228445 × e^{i 7π/16} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i (7π/16+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i (-11π/48)} = 1,8387664-1,6125549i

Výsledok z₁₉

Algebraický tvar:
z = 1,8387664-1,6125549i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -41°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-41°15') + i sin (-41°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -0,7199483} = 2,4456891 × e^{i (-11π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -0,7199483 rad = -41,25° = -41°15' = -0,2291667π = -11π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 1,8387664-1,6125549i
Reálna časť: x = Re z = 1,839
Imaginárna časť: y = Im z = -1,61255487

z₂₀ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,4404527+0,1599557i = 2,4456891 × e^{i 0,0654498} = 2,4456891 × e^{i 0,0208333 π} Kroky výpočtu hlavný koreň

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 11π/16} = -0,679376+1,0167581i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-0,679376+1,0167581i) * (-1-1,7320508i) = -0,67937602882697 * (-1) + (-0,67937602882697) * (-1,7320508076i) + 1,0167580798154i * (-1) + 1,0167580798154i * (-1,7320508076i) = 0,67937603+1,1767138i-1,01675808i-1,76107665i² = 0,67937603+1,1767138i-1,01675808i+1,76107665 = 0,67937603 + 1,76107665 +i(1,1767138 - 1,01675808) = 2,4404527+0,1599557i
iný postup

1,2228445 × e^{i 11π/16} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i (11π/16+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i 0,0654498} = 2,4456891 × e^{i 0,0208333 π} = 2,4404527+0,1599557i

Výsledok z₂₀

Algebraický tvar:
z = 2,4404527+0,1599557i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 3°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 3°45' + i sin 3°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 0,0654498} = 2,4456891 × e^{i 0,0208333 π}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 0,0654498 rad = 3,75° = 3°45' = 0,0208333π rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 2,4404527+0,1599557i
Reálna časť: x = Re z = 2,44
Imaginárna časť: y = Im z = 0,15995572

z₂₁ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,6125549+1,8387664i = 2,4456891 × e^{i 13π/48} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i 15π/16} = -1,1993479+0,2385651i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-1,1993479+0,2385651i) * (-1-1,7320508i) = -1,19934793 * (-1) + (-1,19934793) * (-1,7320508076i) + 0,2385651361i * (-1) + 0,2385651361i * (-1,7320508076i) = 1,19934793+2,07733155i-0,23856514i-0,41320694i² = 1,19934793+2,07733155i-0,23856514i+0,41320694 = 1,19934793 + 0,41320694 +i(2,07733155 - 0,23856514) = 1,6125549+1,8387664i
iný postup

1,2228445 × e^{i 15π/16} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i (15π/16+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i 13π/48} = 1,6125549+1,8387664i

Výsledok z₂₁

Algebraický tvar:
z = 1,6125549+1,8387664i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 48°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 48°45' + i sin 48°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 0,850848} = 2,4456891 × e^{i 13π/48}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 0,850848 rad = 48,75° = 48°45' = 0,2708333π = 13π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = 1,6125549+1,8387664i
Reálna časť: x = Re z = 1,613
Imaginárna časť: y = Im z = 1,83876641

z₂₂ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -0,1599557+2,4404527i = 2,4456891 × e^{i 25π/48} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-13π/16)} = -1,0167581-0,679376i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-1,0167581-0,679376i) * (-1-1,7320508i) = -1,0167580798154 * (-1) + (-1,0167580798154) * (-1,7320508076i) + (-0,67937602882697i) * (-1) + (-0,67937602882697i) * (-1,7320508076i) = 1,01675808+1,76107665i+0,67937603i+1,1767138i² = 1,01675808+1,76107665i+0,67937603i-1,1767138 = 1,01675808 - 1,1767138 +i(1,76107665 + 0,67937603) = -0,1599557+2,4404527i
iný postup

1,2228445 × e^{i (-13π/16)} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-13π/16)+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i 25π/48} = -0,1599557+2,4404527i

Výsledok z₂₂

Algebraický tvar:
z = -0,1599557+2,4404527i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 93°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 93°45' + i sin 93°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 1,6362462} = 2,4456891 × e^{i 25π/48}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 1,6362462 rad = 93,75° = 93°45' = 0,5208333π = 25π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -0,1599557+2,4404527i
Reálna časť: x = Re z = -0,16
Imaginárna časť: y = Im z = 2,44045268

z₂₃ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,8387664+1,6125549i = 2,4456891 × e^{i 37π/48} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-9π/16)} = -0,2385651-1,1993479i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (-0,2385651-1,1993479i) * (-1-1,7320508i) = -0,2385651361 * (-1) + (-0,2385651361) * (-1,7320508076i) + (-1,19934793i) * (-1) + (-1,19934793i) * (-1,7320508076i) = 0,23856514+0,41320694i+1,19934793i+2,07733155i² = 0,23856514+0,41320694i+1,19934793i-2,07733155 = 0,23856514 - 2,07733155 +i(0,41320694 + 1,19934793) = -1,8387664+1,6125549i
iný postup

1,2228445 × e^{i (-9π/16)} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-9π/16)+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i 37π/48} = -1,8387664+1,6125549i

Výsledok z₂₃

Algebraický tvar:
z = -1,8387664+1,6125549i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ 138°45'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos 138°45' + i sin 138°45')

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i 2,4216443} = 2,4456891 × e^{i 37π/48}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = 2,4216443 rad = 138,75° = 138°45' = 0,7708333π = 37π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -1,8387664+1,6125549i
Reálna časť: x = Re z = -1,839
Imaginárna časť: y = Im z = 1,61255487

z₂₄ = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,4404527-0,1599557i = 2,4456891 × e^{i (-47π/48)} Kroky výpočtu

Delenie: 1 / 8 = 0,125
Umocnenie: (-5i) ^ výsledok kroku č. 1 = (-5i) ^ 0,125 = (5 × e^{i (-π/2)})^0,125 = 5^0,125 × e^{i 0,125 × (-π/2)} = 1,2228445 × e^{i (-5π/16)} = 0,679376-1,0167581i
Delenie: 1 / 3 = 0,33333333
Tretia odmocnina: ∛8 = -1-1,7320508i
Násobenie: výsledok kroku č. 2 * výsledok kroku č. 4 = (0,679376-1,0167581i) * (-1-1,7320508i) = 0,67937602882697 * (-1) + 0,67937602882697 * (-1,7320508076i) + (-1,0167580798154i) * (-1) + (-1,0167580798154i) * (-1,7320508076i) = -0,67937603-1,1767138i+1,01675808i+1,76107665i² = -0,67937603-1,1767138i+1,01675808i-1,76107665 = -0,67937603 - 1,76107665 +i(-1,1767138 + 1,01675808) = -2,4404527-0,1599557i
iný postup

1,2228445 × e^{i (-5π/16)} × 2 × e^{i (-2π/3)} = 1,2228445 × 2 × e^{i ((-5π/16)+(-2π/3))} = 2,4456891 × e^{i (-47π/48)} = -2,4404527-0,1599557i

Výsledok z₂₄

Algebraický tvar:
z = -2,4404527-0,1599557i

Fázor = veľkosť + argument:
z = 2,4456891 ∠ -176°15'

Goniometrický tvar:
z = 2,4456891 × (cos (-176°15') + i sin (-176°15'))

Exponenciálny tvar:
z = 2,4456891 × e^{i -3,0761428} = 2,4456891 × e^{i (-47π/48)}

Polárne súradnice:
r = |z| = 2,4456891 ... absolútna hodnota - modul
θ = arg z = -3,0761428 rad = -176,25° = -176°15' = -0,9791667π = -47π/48 rad ... uhol (argument alebo fáza)

Kartézske súradnice:
Kartézská forma imaginárního čísla: z = -2,4404527-0,1599557i
Reálna časť: x = Re z = -2,44
Imaginárna časť: y = Im z = -0,15995572

Táto kalkulačka poskytuje služby výpočtu a vyhodnotenia výrazov v množine komplexných čísel. Imaginárna jednotka je označená ako i alebo j (najmä v elektrotechnike); spĺňa rovnicu i² = -1 alebo j² = -1 . Kalkulačka má tiež konverziu komplexného čísla do goniometrického, exponenciálneho tvaru alebo do polárnych súradnic. Zadajte výraz s komplexnými číslami, ako napríklad 5*(1+i)(-2-5i)^2

Komplexné čísla vo verzorovom tvare (polárne súradnice r,θ) zadávajte v tvare rLθ napr. 5L65, čo je to isté ako 5*cis(65°).
Príklad násobenia dvoch čísel vo verzorovom tvare: 10L45 * 3L90.

Pre použitie v školstve napr. výpočtoch striedavých prúdov na strednej odbornej škole potrebujete rýchlu a jasnú komplexnú kalkulačku.

Základné operácie s komplexnými číslami

Dúfame, že práca s komplexným číslom je celkom ľahká, pretože môžete pracovať s imaginárnou jednotkou i ako s premennou. A použite definíciu i²= -1na zjednodušenie zložitých výrazov. Mnoho operácií je rovnakých ako operácie s dvojrozmernými vektormi.

Sčítanie

Veľmi jednoduché, sčítajte reálne časti (bez i) a imaginárne časti (tie s i):
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(1+i) + (6-5i) = 7-4i
12 + 6-5i = 18-5i
(10-5i) + (-5+5i) = 5

Odčítanie

Opäť veľmi jednoduché, odčítajte reálne časti a odčítajte imaginárne časti (tie s i):
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) + (c + di) = (a-c) + (b-d)i

(1+i) - (3-5i) = -2+6i
-1/2 - (6-5i) = -6.5+5i
(10-5i) - (-5+5i) = 15-10i

Násobenie

Ak chcete vynásobiť dve komplexné čísla, použite distribučné pravidlo, zlúčte sa dvojčleny a použite i²= -1.
Toto sa rovná použitiu pravidla: (a + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

(1+i) (3+5i) = 1*3+1*5i+i*3+i*5i = 3+5i+3i-5 = -2+8i
-1/2 * (6-5i) = -3+2.5i
(10-5i) * (-5+5i) = -25+75i

Delenie

Delenie dvoch komplexných čísel sa dá dosiahnuť vynásobením čitateľa a menovateľa komplexne združeným menovateľom. Odstránime tak imaginárnu jednotku i v menovateľi. Ak je menovateľ c + di, urobte to bez i (alebo ho urobte reálnym), stačí vynásobiť komplexne združeným menovateľom tj. c-di:

(c + di) (c-di) = c²+ d²

\frac{a + b i}{c + d i} = \frac{( a + b i ) ( c - d i )}{( c + d i ) ( c - d i )} = \frac{a c + b d + i ( b c - a d )}{c ^{2} + d ^{2}} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i

(10-5i) / (1+i) = 2.5-7.5i
-3 / (2-i) = -1.2-0.6i
6i / (4+3i) = 0.72+0.96i

Absolútna hodnota alebo modul

Absolútna hodnota alebo modul je vzdialenosť obrazu komplexného čísla od počiatku v rovine. Kalkulačka používa na zistenie tejto vzdialenosti Pytagorovu vetu. Veľmi jednoduché, pozri príklady: |3+4i| = 5
|1-i| = 1.4142136
|6i| = 6
abs(2+5i) = 5.3851648

Druhá odmocnina

Druhá odmocnina komplexného čísla (a + bi) je z, ak z²= (a + bi). Tu končí jednoduchosť. Kvôli základnej vete algebry budete mať pre dané číslo vždy dve rôzne druhé odmocniny. Ak chcete zistiť možné hodnoty, najjednoduchším spôsobom je pravdepodobne použiť De Moivrove pravidlo (vzorec). Druhá odmocnina nie je jednoznačne definovaná funkcia pre komplexné číslo. Vypočítame preto všetky komplexné druhé resp. vyššie odmocniny (korene) z ľubovoľného čísla - dokonca aj vo výrazoch:

sqrt(9i) = 2.1213203+2.1213203i
sqrt(10-6i) = 3.2910412-0.9115656i
pow(-32,1/5)/5 = -0.4
pow(1+2i,1/3)*sqrt(4) = 2.439233+0.9434225i
pow(-5i,1/8)*pow(8,1/3) = 2.3986959-0.4771303i

Druhá mocnina, štvorec, mocnina, komplexná umocňovanie

Naša kalkulačka dokáže umocňovať akékoľvek komplexné číslo na celé číslo (kladné, záporné), reálne alebo dokonca komplexné číslo. Inými slovami, vypočítame „komplexné číslo na komplexnú mocninu“
Pozrite príklad:

i^{i} = e^{- π / 2}

i^2 = -1
i^61 = i
(6-2i)^6 = -22528-59904i
(6-i)^4.5 = 2486.1377428-2284.5557378i
(6-5i)^(-3+32i) = 2929449.0399425-9022199.5826224i
i^i = 0.2078795764
pow(1+i,3) = -2+2i

Funkcie

sqrt: Druhá odmocnina hodnoty alebo výrazu.
sin: sínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
cos: kosínus hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
tan/tg: tangens hodnoty alebo výrazu. Autodetekcia radiánov / stupňov.
exp: e (Eulerova konštanta) umocnená na výrazu, exponenciála
pow: Mocnina jedného komplexného čísla na iné celé číslo / reálne / komplexné číslo
ln: Prirodzený logaritmus hodnoty alebo výrazu
log: logaritmus hodnoty alebo výrazu základu-10
abs alebo | 1 + i |: Absolútna hodnota hodnoty alebo výrazu
fáza: Fáza (uhol) komplexného čísla
cis: je menej známa notácia:cis (x)= cos (x) + i sin (x); príklad: cis (pi/2) + 3 = 3+i
conj: konjugát, združené komplexné číslo - príklad: conj(4i+5) = 5-4i

Príklady použitia:

• tretia odmocnina: cuberoot(1-27i)
• odmocniny komplexných čísel: pow(1+i,1/7)
• fáza, uhol komplexného čísla: phase(1+i)
• cis tvar komplexné čísla: 5*cis(45°)
• polárny tvar komplexné čísla: 10L60
• komplexne združené číslo: conj(4+5i)
• rovnica s komplexnými číslami: (z+i/2 )/(1-i) = 4z+5i
• sústava rovníc s imaginárnymi číslami: x-y = 4+6i; 3ix+7y=x+iy
• Moivrová veta - rovnica: z^4=1
• násobenie troch komplexných čísel: (1+3i)(3+4i)(−5+3i)
• nájdide súčin čísla 3-4i a jemu konjugovaného čísla: (3-4i)*conj(3-4i)
• operácie s komplexnými číslami: (3-i)^3

Komplexné čísla v slovných úlohách:

slovné úlohy - viacej »

Komplexné čísla kalkulačka

z1 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,3986959-0,4771303i = 2,4456891 × ei -0,1963495 = 2,4456891 × ei (-0,0625) π Kroky výpočtu

z2 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,0335162+1,3587521i = 2,4456891 × ei 3π/16 Kroky výpočtu

z3 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 0,4771303+2,3986959i = 2,4456891 × ei 7π/16 Kroky výpočtu

z4 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,3587521+2,0335162i = 2,4456891 × ei 11π/16 Kroky výpočtu

z5 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,3986959+0,4771303i = 2,4456891 × ei 15π/16 Kroky výpočtu

z6 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,0335162-1,3587521i = 2,4456891 × ei (-13π/16) Kroky výpočtu

z7 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -0,4771303-2,3986959i = 2,4456891 × ei (-9π/16) Kroky výpočtu

z8 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,3587521-2,0335162i = 2,4456891 × ei (-5π/16) Kroky výpočtu

z9 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -0,786141+2,3158967i = 2,4456891 × ei 29π/48 Kroky výpočtu

z10 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,1934719+1,0817006i = 2,4456891 × ei 41π/48 Kroky výpočtu

z11 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,3158967-0,786141i = 2,4456891 × ei (-43π/48) Kroky výpočtu

z12 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,0817006-2,1934719i = 2,4456891 × ei (-31π/48) Kroky výpočtu

z13 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 0,786141-2,3158967i = 2,4456891 × ei (-19π/48) Kroky výpočtu

z14 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,1934719-1,0817006i = 2,4456891 × ei (-7π/48) Kroky výpočtu

z15 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,3158967+0,786141i = 2,4456891 × ei 0,3272492 = 2,4456891 × ei 0,1041667 π Kroky výpočtu

z16 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,0817006+2,1934719i = 2,4456891 × ei 17π/48 Kroky výpočtu

z17 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,6125549-1,8387664i = 2,4456891 × ei (-35π/48) Kroky výpočtu

z18 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 0,1599557-2,4404527i = 2,4456891 × ei (-23π/48) Kroky výpočtu

z19 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,8387664-1,6125549i = 2,4456891 × ei (-11π/48) Kroky výpočtu

z20 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 2,4404527+0,1599557i = 2,4456891 × ei 0,0654498 = 2,4456891 × ei 0,0208333 π Kroky výpočtu hlavný koreň

z21 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = 1,6125549+1,8387664i = 2,4456891 × ei 13π/48 Kroky výpočtu

z22 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -0,1599557+2,4404527i = 2,4456891 × ei 25π/48 Kroky výpočtu

z23 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -1,8387664+1,6125549i = 2,4456891 × ei 37π/48 Kroky výpočtu

z24 = ((-5i)^(1/8))*(8^(1/3)) = -2,4404527-0,1599557i = 2,4456891 × ei (-47π/48) Kroky výpočtu