Koule a kužel

Do koule o poloměru G = 36 cm vepište kužel s největším objemem. Jaký je tento objem a jaké jsou rozměry kužele?

Správná odpověď:

r =  33,94 cm
h =  48 cm
V =  57905,84 cm³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} G=36cm \\ V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h \\ h=G+x=36+x \\ {G}^2=x^2+r^2 \\ {r}^2=G^2-x^2 \\ V=\frac{1}{3}\pi (G^2-x^2)(G+x) \\ V=\frac{1}{3}\pi (G^3+G^{2}x-G{x}^2-x^3) \\ {V}^{\prime }=\frac{1}{3}\pi (G^2-2Gx-3x^2) \\ {V}^{\prime }=0 \\ {G}^2-2Gx-3x^2=0 \\ -3x^2-72x+1296=0 \\ 3x^2+72x-1296=0 \\ a=3;b=72;c=-1296 \\ D=b^2-4ac=72^2-4\cdot 3\cdot (-1296)=20736 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-72\pm \sqrt{20736}}{6} \\ {x}_{1,2}=\frac{-72\pm 144}{6} \\ {x}_{1,2}=-12\pm 24 \\ {x}_1=12 \\ {x}_2=-36 \\ \text{ Soucinovy tvar rovnice: } \\ 3(x-12)(x+36)=0 \\ h=G+x_1=36+12=48cm \\ r=\sqrt{G^2-x_1^2}=33,94\text{cm} \end{gathered}$$

$h=36+12=48\text{cm}$

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=57905,84{\text{cm}}^3$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

Zkusit jiný příklad