Západ-jih

Pozoroval stojící západně od věže vidí její vrchol pod výškovým úhlem 45 stupňů. Poté, co se posune o 50 metrů na jih, vidí její vrchol pod výškovým úhlem 30 stupňů. Jak vysoká je věž?

Správná odpověď:

y =  35,3553 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} \alpha =45{}^{\circ } \\ \beta =30{}^{\circ } \\ {x}_3=50\text{m} \\ \mathrm{tg}\alpha =y:x_1 \\ \mathrm{tg}\beta =y:x_2 \\ {x}_2^2=x_3^2+x_1^2 \\ y=x_1\cdot \mathrm{tg}\alpha =x_2\cdot \mathrm{tg}\beta \\ {x}_1\cdot \mathrm{tg}\alpha =x_2\cdot \mathrm{tg}\beta \\ {x}_1^2\cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha =x_2^2\cdot {\mathrm{tg}}^2\beta \\ {x}_1^2\cdot {\mathrm{tg}}^2\alpha =(x_3^2+x_1^2)\cdot {\mathrm{tg}}^2\beta \\ {t}_1=(\mathrm{tg}\alpha {)}^2=(\mathrm{tg}45°{)}^2=1^2=1 \\ {t}_2=(\mathrm{tg}\beta {)}^2=(\mathrm{tg}30°{)}^2=0,57735^2=0,33333 \\ {x}_1^2\cdot t_1=x_3^2\cdot t_2+x_1^2\cdot t_2 \\ {x}_1^2\cdot (t_1-t_2)=x_3^2\cdot t_2 \\ {x}_1=x_3\cdot \sqrt{\frac{t_2}{t_1-t_2}}=50\cdot \sqrt{\frac{0,3333}{1-0,3333}}=25\sqrt{2}\text{m}\doteq 35,3553\text{m} \\ y=x_1\cdot \sqrt{t_1}=35,3553\cdot \sqrt{1}=25\sqrt{2}\doteq 35,3553\text{m} \\ \text{ Zkousˇka spraˊvnosti: } \\ {x}_2=y/\sqrt{t_2}=35,3553/\sqrt{0,3333}=25\sqrt{6}\text{m}\doteq 61,2372\text{m} \\ {x}_{22}=\sqrt{x_3^2+x_1^2}=\sqrt{50^2+35,3553^2}=25\sqrt{6}\text{m}\doteq 61,2372\text{m} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad