Lichoběžníku 44431

1. V kartézském rámci o funkcích f a g víme, že:
funkce (f) je definována vztahem f (x) = 2x², funkce (g) je definována vztahem g (x) = x + 3, bod (O) je počátkem reference, bod (C) je průsečík grafu funkce (g) s osou pořadnice, body A a B jsou průsečíky grafů funkcí (f) a (g)
1,1 napište souřadnice bodů (A) a (B)
1,2. označte řešení rovnice f (x) = g (x)
1,3. určit obsah trojúhelníku [OAC]
2,1. Na obrázku je část grafu kvadratické funkce (f) typu: f (x) = ax², související funkce (g) a lichoběžník [OBAC] znázorněny v kartézském rámci. :
bod (O) je počátek reference, bod (B) je průsečík grafu funkce (g) s osou pořadnice rovnou 6, bod A je průsečík grafů funkce funkce (f) a (g)
bod (C) patří k ose úsečky a má úsečku rovnou 4, plocha lichoběžníku [OBAC] je rovna 18
2,1 Určete souřadnice bodu (A)
2,2. Určete algebraické výrazy funkcí (f) (g)

Správná odpověď:

Ax =  1,5
Ay =  4,5
Bx =  -1
By =  2
Cx =  0
Cy =  3
S =  2,25

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} f(x)=2x{}^{}2, \\ g(x)=x+3 \\ f(x)=g(x) \\ 2x^2=x+3 \\ 2x^2-x-3=0 \\ a=2;b=-1;c=-3 \\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25 \\ D>0 \\ {x}_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{1\pm \sqrt{25}}{4} \\ {x}_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4} \\ {x}_{1,2}=0,25\pm 1,25 \\ {x}_1=1,5 \\ {x}_2=-1 \\ Ax=A_x=x_1=1,5 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.

$Ay=A_y=A_x+3=1,5+3=4,5$

$Bx=B_x=x_2=(-1)=-1$

$By=B_y=B_x+3=(-1)+3=2$

$$\begin{gathered} C=g(x)\cap x=0 \\ Cx=C_x=0 \end{gathered}$$

$Cy=C_y=C_x+3=0+3=3$

$$\begin{gathered} O=(0,0) \\ a=dist(O,A)=|OA|=\sqrt{(O_x-A_x{)}^2+(O_y-A_y{)}^2}=\sqrt{(0-1,5{)}^2+(0-4,5{)}^2}\doteq 4,7434 \\ b=dist(O,C)=|OC|=\sqrt{(O_x-C_x{)}^2+(O_y-C_y{)}^2}=\sqrt{(0-0{)}^2+(0-3{)}^2}=3 \\ c=dist(A,C)=|AC|=\sqrt{(A_x-C_x{)}^2+(A_y-C_y{)}^2}=\sqrt{(1,5-0{)}^2+(4,5-3{)}^2}\doteq 2,1213 \\ s=(a+b+c)/2=(4,7434+3+2,1213)/2\doteq 4,9324 \\ S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}=\sqrt{4,9324\cdot (4,9324-4,7434)\cdot (4,9324-3)\cdot (4,9324-2,1213)}=2,25 \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad