C – I – 3 MO 2018
Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2.
Dokažte, že platí nerovnost:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Dokažte, že platí nerovnost:
a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
Správná odpověď:
Zobrazuji 3 komentáře:
Dr Math
Návodné a doplňující úlohy:
N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]
N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]
D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]
D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]
D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]
D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]
N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]
N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]
D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]
D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]
D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]
D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]
Žák
A co tohle jestli a, b, c jsou kladná reálná čísla a ab + bc + ca = 1 najděte hodnotu tohoto výrazu (b2+1) /a+b + b (c2+1) /b+c + c (a2+1) /c+a?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úkolu:
Související a podobné příklady:
- Kořen
Kořen rovnice (x-14)² -18 = x² -76x je rovný nula nebo větší než 0, nebo menší než 0? ... - Dokonalý čtverec
Klasifikovali byste 324 jako dokonalý čtverec, dokonalou kostku, obojí nebo ani jedno? ... - Výraz závorky
Který výraz se rovná 12? ... - Marek 2
Marek měl 325 Kč. Koupil si za 129 Kč tričko, v rybářských potřebách chtěl utratit 276 Kč. Kolik Kč mu na rybářské potřeby přidali rodiče? Kolik týdnů mu krátili o 10 Kč kapesné, než splatil dluh?
- Přirozené 3852
Anton řekl: Mám přirozené číslo x. Když ho umocním na čtyři třetiny, dostanu třikrát větší číslo. Jaké číslo Anton myslel? - Mocnina
Číslo left(sqrt(7 * sqrt[ 7 ] (7)) right) 13 lze zapsat ve tvaru 7^x. Najděte hodnotu x. - Následující 49683
(a) Převeďte následující smíšená čísla na nesprávné zlomky. i. 3 5/8 ii. 7 7/6 (b) Převeďte následující nesprávný zlomek na smíšené číslo. i. 13/4 ii. 78/5 (c) Zjednodušte tyto zlomky na nejnižší členy. i. 36/42 ii. 27/45 2. vyhodnoťte následující výrazy - Najdete 7
Najdete součin podílu a rozdílu čísel 16/3 a 3,2 - Vypočtěte 15
Vypočtěte součin součtu a rozdílu čísel odmocnina 5 a odmocnina 3 ( v tomto pořadí)
- Výpočty
Zlomky: 14/17 . 34/56 + 6/9 + 10/13 : 5/26 = 10/16 - ¼ + 15/18 : 5/9 = ¾ . (25/42 - 3/7) +16/21 : 4/7 = 2. Celá čísla: (-12) + (-6). (-2) - (-14) : 2 = 35 : (-5) + (-12) . 2 + (-6) = 42 : (-3) . (-5) - (-12)+ (-16) = - Doplň 5
Doplň znaménka, aby platilo 5 5 5 5 5=14 - Kolik
Kolik celých čísel je větších než 547/3 a menších než 931/4? - Polovina 37741
O kolik je polovina z poloviny větší než třetí mocnina poloviny? - Vnučka
V roce 2014 byl součet věku Mecháčovy tety, její dcery a její vnučky roven 100 let. V kterém roce se narodila vnučka, pokud víme, že věk každé z nich lze vyjádřit jako mocnina dvou?
- Mnohočlenky: 29981
Vypočítej hodnotu mnohočlenky: 14 * 32 - 27 : 3 + 11 * 4 : 2 = - Čtvercova zahrada
Zahrádka paní Petrové měla tvar čtverce se stranou délky 15 m. Po jejím zvětšením o 64 m² (čtverečních) měla opět tvar čtverce. O kolik metrů byla prodloužena délka každé strany zahrádky? - Z knihy
Z knihy je vytržen 1 list. Součet čísel stránek všech zbývajících listů je 15 000. Jaká čísla měly stránky na listu, který byl z knihy vytržen?