Biliardové gule

Vrstva slonovinových biliardových gúľ o polomere 6,35 cm, je v tvare štvorca. Gule sú usporiadané tak, že každá guľa je tangenta (dotýka sa) každej susediacej s ňou. V priestoroch medzi 4 priľahlými guľami je priestor rovný veľkosti originálej guli. Po sebe idúce vrstvy vytvárajú pyramídu s jednou guľou na vrchole. V prípade, že spodná vrstva obsahuje 16 lôpt, aká je výška hromady?

Správna odpoveď:

h =  39,6408 cm

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} r=6,35 \\ (2x{)}^2=(6r{)}^2+(6r{)}^2 \\ {x}^2=18r^2 \\ x=\sqrt{18}\cdot r=\sqrt{18}\cdot 6,35\doteq 26,9408 \\ {h}_1^2+x^2=(6r{)}^2 \\ {h}_1=\sqrt{(6\cdot r{)}^2-x^2}=\sqrt{(6\cdot 6,35{)}^2-26,9408^2}\doteq 26,9408 \\ h=2\cdot r+h_1=2\cdot 6,35+26,9408=39,6408\text{cm} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad