Vyobrazený obrazec

Aká veľká je hnedo vyfarbená plocha vo vnútri štvorca o strane 6 cm, ak každá zo štyroch hnedých kruhových úsečí je z kruhu s polomerom dĺžky stany štvorca? Dĺžka kruhových úsečí je rovná dĺžke strany štvorca. Situácia je vyobrazená na obrázku vpravo.

Správna odpoveď:

S =  13,0444 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a=6\text{cm} \\ n=4 \\ r=a=6\text{cm} \\ t=a/2=6/2=3\text{cm} \\ {r}^2=h_1^2+t^2 \\ {h}_1=\sqrt{r^2-t^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\text{cm}\doteq 5,1962\text{cm} \\ \sin \alpha /2=t:r \\ \alpha =2\cdot \arcsin (t/r)=2\cdot \arcsin (3/6)\doteq 1,0472\text{rad} \\ {S}_1=\pi \cdot r^2\cdot \frac{\alpha }{2\pi }=3,1416\cdot 6^2\cdot \frac{1,0472}{2\cdot 3,1416}\doteq 18,8496{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=\frac{a\cdot h_1}{2}=\frac{6\cdot 5,1962}{2}=9\sqrt{3}{\text{cm}}^2\doteq 15,5885{\text{cm}}^2 \\ {S}_3=S_1-S_2=18,8496-15,5885\doteq 3,2611{\text{cm}}^2 \\ S=n\cdot S_3=4\cdot 3,2611=13,0444{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad