MO Z9 2019 domáce kolo

V trojuholníku ABC leží bod P v tretine úsečky AB (bližšie bodu A), bod R je v tretine úsečky PB (bližšie bodu P) a bod Q leží na úsečke BC tak, že uhly PCB a RQB sú zhodné.

Určte pomer obsahov trojuholníkov ABC a PQC.

Správny výsledok:

p =  9:2

Riešenie:

$$\begin{gathered} \mathrm{\mid }AB\mathrm{\mid }=a \\ \mathrm{\mid }AP\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{3}}a \\ \mathrm{\mid }PR\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}a={\displaystyle \frac{2}{9}}a \\ \mathrm{\mid }RB\mathrm{\mid }=(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{9}})a={\displaystyle \frac{4}{9}}a \\ S(ABC)={\displaystyle \frac{a\cdot h}{2}} \\ S(APC)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }AP\mathrm{\mid }\cdot h}{2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot a\cdot h}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot S(ABC) \\ S(PCB)=S(ABC)-S(APC)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot S(ABC) \\ PCB\dots \dots RQB \\ {h}_2={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot h \\ S(PQB)={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }PB\mathrm{\mid }\cdot h_2}{2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot h}{2}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\cdot S(ABC) \\ S(PQC)=S(ABC)-S(APC)-S(PQB)=S(ABC)(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}) \\ S(PQC)=k\cdot S(ABC) \\ k=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}\doteq 0.2222 \\ p=S(ABC):S(PQC) \\ p=1\mathrm{/}k=1\mathrm{/}0.2222={\displaystyle \frac{9}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}\doteq 4.5=9:2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 3 komentáre:

Žiak

pomer je 2:9 a nie naopak

1 rok  1 Like Like

Dr Math

no asi tazko, kedze ABC je vacsi trojuholnik ako PQC. PQC lezi v trojuholniku ABC a preto jeho obsah je mensi. preto pomer je 9:2, tj. S(ABC) :S(PQC) = 9:2

1 rok  2 Likes Like

Žiak

Ako ste zistili velkost vysky h?

1 rok  3 Likes Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Z9 – I – 2 MO 2018
  V rovnostrannom trojuholníku ABC je K stredom strany AB, bod L leží v tretine strany BC bližšie bodu C a bod M leží v tretine strany AC bližšie bodu A. Určte, akú časť obsahu trojuholníka ABC zaberá trojuholník KLM.
• MO - trojuholníky
  Na stranách AB a AC trojuholníka ABC leží postupne body E a F, na úsečke EF leží bod D. Přmky EF a BC sú rovnobežné a súčasne platí FD:DE = AE:EB = 2:1. Trojuholník ABC má obsah 27 hektárov a úsečkami EF, AD a DB je rozdelený na štyri časti. Určite obsahy
• Z7–I–2 MO 2017
  Dané sú dve dvojice rovnobežných priamok AB k CD a AC k BD. Bod E leží na priamke BD, bod F je stredom úsečky BD, bod G je stredom úsečky CD a obsah trojuholníka ACE je 20 cm². Určte obsah trojuholníka DFG.
• Z8–I–5 MO 2019
  Pre osem navzájom rôznych bodov ako na obrázku platí, že body C, D, E ležia na priamke rovnobežnej s priamkou AB, F je stredom úsečky AD, G je stredom úsečky AC a H je priesečníkom priamok AC a BE. Obsah trojuholníka BCG je 12 cm² a obsah štvoruholníka DF
• Trojuholník KLB
  Daný je rovnostranný trojuholník ABC. Z bodu L ktorý je stredom strany BC tohto trojuholníka, je spustená kolmica k na stranu AB. Priesečník kolmice k a strany AB je označený ako bod K. Koľko % z obsahu trojuholníka ABC tvorí trojuholník KLB?
• MO Z8–I–6 2018
  V lichobežníku KLMN má základňa KL veľkosť 40 cm a základňa MN má velkosť 16 cm. Bod P leží na úsečke KL tak, že úsečka NP rozdeľuje lichobežník na dve časti s rovnakými obsahmi. Určte veľkosť úsečky KP.
• Trojuholník ABC
  V trojuholníku ABC so stranou BC dĺžky 2 cm je bod K stredom strany AB. Body L a M rozdeľujú stranu AC na tri zhodné úsečky. Trojuholník KLM je rovnoramenný s pravým uhlom pri vrchole K. Určte dĺžky strán AB, AC trojuholníka ABC.
• Z9-I-5 MO 2017 obdlžník
  Vnútri obdlžníka ABCD ležia body M a N. Strana AB je 22 cm a kružnica opísaná trojuholníku AND má polomer 10cm a úsečky MA, MD, MN, NB a NC sú navzájom zhodné. Určite dĺžku strany BC.
• Lichobežník MO-5-Z8
  Lichobežník ABCD je úsečkou CE rozdelený na trojuholník a rovnobežník, viď obrázok. Bod F je stredom úsečky CE, priamka DF prechádza stredom úsečky BE a obsah trojuholníka CDE je 3 cm². Určte obsah lichobežníka ABCD.
• Na úsečke
  Na úsečke AB s dĺžkou 15 cm leží bod C vzdialený od bodu A 4 cm. V akom pomere delí tento bod úsečku AB?
• Úsečka 6
  Úsečka KL má dĺžku 12 cm. Bod X úsečku delí v pomere 1:5. Aká je dĺžka úsečky XL, ak bod X leží bližšie k bodu K?
• Katka MO
  Katka narysovala trojuholník ABC. Stred strany AB si označila ako X a stred strany AC ako Y. Na strane BC chce nájsť taký bod Z, aby obsah štvoruholníka AXZY bol čo najväčší. Akú časť trojuholníka ABC môže maximálne zaberať štvoruholník AXZY?
• Z7-1-6 MO 2018
  Daný je rovnoramenný pravouhlý trojuholník ABS so základňou AB. Na kružnici, ktorá má stred v bode S a prechádza bodmi A a B, leží bod C tak, že trojuholník ABC je rovnoramenný. Určte, koľko bodov C vyhovuje uvedeným podmienkam, a všetky také body zostroj
• Dôkaz - MO - C – I – 3
  Päta výšky z vrcholu C v trojuholníku ABC delí stranu AB v pomere 1:2. Dokážte, že pri zvyčajnom označení dĺžok strán trojuholníka ABC platí nerovnosť ?.
• C-I-2 2018 MO
  Na strane AB trojuholníka ABC sú dané body D a E tak, že |AD| = |DE| = |EB|. Body A a B sú postupne stredmi úsečiek CF a CG. Priamka CD pretína priamku FB v bode I a priamka CE pretína priamku AG v bode J. Dokážte, že priesečník priamok AI a BJ leží na pr
• Pre trojuhoľníky
  Pre trojuhoľníky ABC a A'B'C' platí: alfa = alfa s čiarou, beta s čiarou = beta. a) sú tieto trojuhoľníky zhodné? Prečo? b) sú tieto trojuhoľníky podobné? Prečo?
• V trojuholníku
  V trojuholníku ABC je [AB]=20cm, [BC]=10cm, A=30°. Zostroj trojuholník A'B'C' podobný s trojuholníkom ABC, ak koeficient podobnosti je 0,5