Bazén 22

Bazén o délce l = 50 m a šířce s = 15 m má u stěny v nejmělčí části hloubku h1 = 1,2 m. Hloubka se pak plynule zvětšuje do hloubky h2 = 1,5 m uprostřed bazénu a dál se opět plynule zvětšuje do hloubky h3 = 4,5 m u stěny v nejhlubší části bazénu. Uvažujte měrnou tepelnou kapacitu vody c = 4 200 J/(kg · °C).

a) Jaký je objem vody v bazénu?
b) Jak dlouho trvá napouštění bazénu dvěma přívody, přitéká-li každým A = 5 litrů/s?
c) Kolik GJ tepla je zapotřebí na ohřátí vody v bazénu o ∆t = 10°C?
d) Při prvním napouštění bazénu požadujeme, aby voda měla teplotu t = 25°C.
Kolik teplé a kolik studené vody na to budeme potřebovat, je-li teplota studené vody t1 = 10°C a teplé vody t2 = 60°C?

Správná odpověď:

V =  1631,25 m³
t =  45,3125 h
E =  68,5125 GJ
a =  1141,875 m³
b =  489,375 m³

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} l=50\text{m} \\ s=15\text{m} \\ {h}_1=1,2\text{m} \\ {h}_2=1,5\text{m} \\ {h}_3=4,5\text{m} \\ c=4200\text{J/kg/°C} \\ {S}_1=(h_1+h_2)/2\cdot \frac{l}{2}=(1,2+1,5)/2\cdot \frac{50}{2}=\frac{135}{4}=33,75{\text{m}}^2 \\ {S}_2=(h_2+h_3)/2\cdot \frac{l}{2}=(1,5+4,5)/2\cdot \frac{50}{2}=75{\text{m}}^2 \\ V=s\cdot (S_1+S_2)=15\cdot (\frac{135}{4}+75)=\frac{6525}{4}{\text{m}}^3=1631,25{\text{m}}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} V_1=V\to \text{l}=V\cdot 1000\text{l}=1631,25\cdot 1000\text{l}=1631250\text{l} \\ Q=5\text{l/s} \\ {t}_1=V_1/(2\cdot Q)=1631250/(2\cdot 5)=163125\text{s} \\ t=t_1\to \text{h}=t_1:3600\text{h}=163125:3600\text{h}=45,313\text{h}=\frac{725}{16}\text{h}=45,3125\text{h} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \rho =1000{\text{kg/m}}^3 \\ m=\rho \cdot V=1000\cdot \frac{6525}{4}=\frac{1000\cdot 6525}{4}=\frac{6525000}{4}=1631250\text{kg} \\ T=10\text{°C} \\ {E}_1=m\cdot c\cdot T=1631250\cdot 4200\cdot 10=68512500000\text{J} \\ E=E_1/10^9=68512500000/10^9=\frac{5481}{80}\text{GJ}=68,5125\text{GJ} \end{gathered}$$

$a+b = V \ \\ 10a + 60b = 25V \ \\ a+b = 1631.25 \ \\ 10a + 60b = 25 \cdot \ 1631.25 \ \\ \ \\ a+b = 1631.25 \ \\ 10 \cdot \ a + 60 \cdot \ b = 25 \cdot \ 1631.25 \ \\ \ \\ a+b = 1631.25 \ \\ 10a+60b = 40781.25 \ \\ \ \\ Pivot: Řádek 1 ↔ Řádek 2 \ \\ 10a+60b = 40781.25 \ \\ a+b = 1631.25 \ \\ \ \\ Řádek 2 - \dfrac{ 1 }{ 10 } \cdot \ Řádek 1 → Řádek 2 \ \\ 10a+60b = 40781.25 \ \\ -5b = -2446.88 \ \\ \ \\ b = \dfrac{ -2446.875 }{ -5 } = 489.375 \ \\ a = \dfrac{ 40781.25-60b }{ 10 } = \dfrac{ 40781.25-60 \cdot \ 489.375 }{ 10 } = 1141.875 = \dfrac{ 9135 }{ 8 } \ \text{m}^3 = 1141.875 \ \text{m}^3 \ \\ \ \\ a = \dfrac{ 9135 }{ 8 } = 1141.875 \ \\ b = \dfrac{ 3915 }{ 8 } = 489.375$

Zkusit jiný příklad