Pologuľa

Nádoba tvaru pologule je úplne naplnená vodou. Aký polomer má nádoba, keď z nej pri naklonení o 30 stupňov vytečie 10 l vody?

Správny výsledok:

R =  19,079 cm

Riešenie:

$$\begin{gathered} A=30^{\circ }\to \text{ rad}=30^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{180}}=30^{\circ }\cdot {\displaystyle \frac{3.1415926}{180}}=0.5236=\pi \mathrm{/}6 \\ {V}_1=10\text{ l}\to {\text{cm}}^3=10\cdot 1000{\text{cm}}^3=10000{\text{cm}}^3 \\ \cos A=r:R \\ \sin A=v:R \\ {V}_2={\displaystyle \frac{\pi v}{6}}\cdot (3r^2+v^2) \\ V=V_1+V_2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi R^3 \\ {V}_2={\displaystyle \frac{\pi R\sin A}{6}}\cdot (3(R\cos A{)}^2+(R\sin A{)}^2) \\ {V}_2={\displaystyle \frac{\pi R^3\sin A}{6}}\cdot (3(\cos A{)}^2+(\sin A{)}^2) \\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi R^3=V_1+{\displaystyle \frac{\pi R^3\sin A}{6}}\cdot (3(\cos A{)}^2+(\sin A{)}^2) \\ k={\displaystyle \frac{\pi \cdot \sin (A)}{6}}\cdot (3\cdot (\cos (A){)}^2+(\sin (A){)}^2)={\displaystyle \frac{3.1416\cdot \sin (0.5236)}{6}}\cdot (3\cdot (\cos (0.5236){)}^2+(\sin (0.5236){)}^2)\doteq 0.6545 \\ {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi R^3=V_1+k\cdot R^3 \\ R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{V_1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \pi -k}}}=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{10000}{{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 3.1416-0.6545}}}\doteq 19.079\text{ cm } \\ V={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot \pi \cdot R^3={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 3.1416\cdot 19.079^3\doteq 14545.4545{\text{cm}}^3 \\ r=R\cdot \cos (A)=19.079\cdot \cos (0.5236)\doteq 16.5229\text{ cm } \\ v=R\cdot \sin (A)=19.079\cdot \sin (0.5236)\doteq 9.5395\text{ cm } \\ {V}_2={\displaystyle \frac{\pi \cdot v}{6}}\cdot (3\cdot r^2+v^2)={\displaystyle \frac{3.1416\cdot 9.5395}{6}}\cdot (3\cdot 16.5229^2+9.5395^2)={\displaystyle \frac{50000}{11}}\doteq 4545.4545{\text{cm}}^3 \\ {V}_8=V-V_2=14545.4545-4545.4545=10000{\text{cm}}^3 \\ {V}_8=V_1 \\ R=19.079=19.079\text{ cm} \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 3 komentáre:

Žiak

R = 2* (30/11/pi)^(1/3) dm = cca 19,079 cm

1 rok  Like

Dr Math

hej? Vydelime uhol v stupnoch objemom v litroch  :D to asi nie je spravne

1 rok  Like

Žiak

30 není hodnota velikosti úhlu, ale výsledek výpočtu. Dle vašeho značení:
sin 30 = (R – v)/R = 1/2 => v = R/2, cos 30 = r/R = sqrt(3)/2 => r = R*sqrt(3)/2
a dosadíte do V2.
V= V1 + V2 = 2/3*pi*R³ = 10 + V2 => R = 2* (30/11/pi)^(1/3) dm = cca 19,079 cm

:-)

1 rok  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Nádoba 11
  Nádoba tvaru dutej polgule je naplnená vodou do výšky v=10 cm. Koľko litrov vody obsahuje, ak vnútorný priemer nádoby je d= 28cm?
• Určte 5
  Určte objem guľového odseku, ak polomer jeho podstavy je 10 cm a veľkosť stredového uhla ω = 120 stupňov.
• Guľový výsek a g. odsek
  Vypočítajte povrch guľového výseku, ak guľový odsek, ktorý je časťou výseku, má polomer podstavy ρ = 12 cm a výšku v = 3,2 cm.
• Farba a riedidlo
  Kupola hvezdárne sa tvarom blíži pologuli. Jej vonkajší priemer je 11 m. Koľko kilogramov farby a koľko litrov riedidla sa spotrebuje na jej dvojitý náter, ak viete, že 1 kilogramom farby zriedeným 1 decilitrom riedidla sa natrie plocha s obsahom 7,3 dm².
• Kužeľ 20
  Vypočítajte objem a plochu kužeľa, ktorého výška je 10 cm a v osovom reze zviera so stenou kužeľa uhol 30 stupňov.
• Pologuľa
  V drevenej pologuli s polomerom r = 1 bola vytvorená priehlbina tvaru pologule s polomerom r/2 tak, že podstavy oboch pologuľ ležai v tej istej rovine. Aký je povrch vytvoreného telesa (vrátane plochy priehlbiny)?
• Nádoba 16
  Nádoba tvaru kvádra má výšku 52 cm a štvorcovú podstavu. Nádoba bola naplnená až po okraj vodou, potom sme do nej ponorili kovovú kocku, čo spôsobilo, že z nádoby vytieklo 2,7 l vody. Po vytiahnutí kocky z vody poklesla hladina vody v nádobe o 12 cm. Koľk
• Dva kruhy
  Sú dané dva kruhy o rovnakom polomere r = 1. Stred druhého kruhu leží na obvode toho prvého. Aká je plocha štvorca vpísaného do prieniku zadaných kruhov?
• Hranol s kosoštvorcovou
  Nádoba tvaru hranola s kosoštvorcovou podstavou má jednu uhlopriečku podstavy 10cm a hranu podstavy 14cm. Hrana podstavy a výška hranola sú v pomere 2:5. Koľko litrov vody je v nádobe keď je naplnená do štyroch pätín objemu?
• Polgula odsek, vrchlík
  Vypočítajte objem guľovej vrstvy, ktorá zostane z polgule po odrezaní odseku s výškou 3 cm. Výška polgule je 10 cm.
• Bazén 19
  Za kolko hod. cca naplnime bazen 3,66x0,91 (vyska vody 71cm) hadicou 1/2 z ventilu z rozvodu vody zo studne kde je dostatok vody kvalitne cerpadlo aj zasoba vody urobena potrubim v chalupe? (uvažujte výtok vody jeden liter za sekundu)
• Kotangens
  Ak je uhol α ostrý uhol, pre ktorý platí cotg α = 1/3. Určite hodnoty sin α, cos α, tg α.
• Guličky 5
  Z vrecúška s očíslovanými guličkami (čísla 1,2,3,. ..20) vyberáme jednu guličku. Aká je pravdepodobnosť, že vyberieme číslo obsahujúce číslicu 1?
• Nekonečno
  Do štvorca o strane dĺžky 18 je vpísaný kruh, do neho potom štvorec, do toho opäť kruh atď. do nekonečna. Vypočítajte súčet obsahov všetkých týchto štvorcov.
• Úsečky 3
  Máme 5 useciek s dlzkami 3cm,5cm,7cm,9cm a 11cm. Aka je pravdepodobnost ze pri nahodne vybratej trojici z nich budeme môct zostrojit trojuholník?
• Pravouhlý trojuholník
  pravouhlý trojuholník uhol alfa 90 stupňov uhol beta 55 stupňov c = 10cm vypočítať Pytagorovej vety strany a, b
• Nádoba 14
  Nádoba tvaru kocky je naplnená vodou do polovice svojej výšky. Ak dolejeme 20 l vody, bude nádoba naplnená do troch štvrtín svojej výšky. Aký je objem celej nádoby?