Parabolická
Parabolická úseč má základnu a= 4 cm a výšku v= 6 cm. Vypočítejte objem tělesa, které vznikne rotací této úseče
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
a) kolem své základny
b) kolem své osy.
Předem děkuji za řešení.
Správná odpověď:
Zobrazuji 6 komentářů:
Žák
Va = pi*integrate (sqrt(2/3*x)2 dx from x=0 to 6
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Vb = pi*integrate (-6/4*x2+6)2 dx from x=-2 to 2
Aztli
Objem paraboloidu, bude 48 pi, pro kontrolu lze dvěma způsoby buď kolem osy Y z funkce I (2*pi * x * 3/8 * x2 dx od nuly do 4) nebo z inverzní funkce I (pi * ((8/3*x).5)2 dx od nuly do 6. Co je nejvíce pozoruhodné, že to bude přesně polovina objemu válce, který má takto pi * 42 * 6 = 96 pi.
Aztli
Co se týče druhého zadání, tak není zcela jasné, co má rotovat, zda kolem celé základny oblouk paraboly, či jen část. Tedy jen část oblouku paraboly, co je pod z úsečkou b nebo obě části paraboly pod úsečkou 2*b.V podstatě stačí počítat rotaci oblouku paraboly jen části pod úsečkou b, pokud by to mělo jako být pod jejím dvojnásobkem, bude podobně vzhledem k symetrii objem dvojnásobný.Čili můžeme nechat tedy rotovat část oblouku paraboly upravené na tvar y=3/8*x2-6 kolem osy x, pak to bude integral v mezích (0,4) z pi* (3/8*x2-6)2 dx = 384/5 pi.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
Nebo funkci upravit, aby rotovala kolem osy y, pak bude mít tvar y=(8/3*(6-x)).5 a pak bude mít integrál tvar : v mezích od 0 do 6 z funkce 2pi * x * (8/3*(6-x)).5 dx a vyjde opět objem 384/5 * pi (musí se v absolutní hodnotě). Válec, ve kterém je tento objem obsažen má objem pi * 62*4 = 144pi, co je zajímavé je, že objem bude téměř polovina objemu válce, ale nikoliv přesně, ale nepatrně méně. Pokud by tedy rotoval kolem základny 2 * b, bude příslušný oblouk v prostoru vymezovat dvojnásobný objem v příslušném také dvojnásobné válci.
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
- algebra
- vyjádření neznámé ze vzorce
- aritmetika
- druhá mocnina
- planimetrie
- obsah
- základní funkce
- funkce, zobrazení
- integrál
Jednotky fyzikálních veličin:
Úroveň náročnosti úkolu:
Doporučujeme k tomuto príkladu si prohlédnout toto výukové video: video1
Související a podobné příklady:
- V trojúhelníku 8
V trojúhelníku ABC znáte poměr délek stran a:b:c=3:4:6. Vypočítejte velikosti úhlů trojúhelníku ABC. - Prosím 6
Prosím o vyjádření r ze vzorce pro povrch válce. - Vodič 4
Vodič A má vzhledem k Zemi elektrický potenciál +140V, vodič B má potenciál -60V . Jak velký elektrický náboj přeneseme z vodiče B na vodič A, jestliže vykonáme práci 4,10-4J. - Rovnoběžníku 82626
Vypočítejte obsah rovnoběžníku, pokud známe obvod je 23 cm, úhlopříčka je 8,5 cm a jedna strana je o 1,5 cm delší.
- 3x^2+bx+c=0 82539
V rovnici 3x²+bx+c=0 je jeden kořen x1 = -3/2. Určete číslo c tak, aby číslo 4 bylo kořenem rovnice. Nápověda - použijte Vietovy vzorce. - Posloupnost AP
Určete součet prvních 12 členů AP (aritmetické posloupnosti), pokud a4 se rovná 7 a a8 se rovná minus 1. - Určete 47
Určete rovnici kružnice, která prochází bodem M(-1,2) a N( 3,0) a jejíž střed leží na přímce p: x=-3+t, y=-1+t, - Vzdálenost 82341
Určete rovnici kružnice, která je množinou všech bodů roviny, které mají od bodu [3,7] dvakrát větší vzdálenost než od bodu [0,1]. - Velikost 17
Vypočtěte velikost výšky na stranu b (v_b) trojúhelníku ABC s vrcholy A[4;1;3] B[2;3;3] a C[1;1;3].
- Euklid 9
Pomocí Euklidových vět a věty Pythagorovy doplňte následující parametry popisující pravoůhlý trojůhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, pokud víme b=10, cb=8 - Dva členy
Dva členy geometrické posloupnosti jsou a2=12, a5=tři poloviny. a) vypočítejte desátý člen posloupnosti. b) vypočítejte součet prvních 8 členů posloupnosti. v) kolik prvních členů posloupnosti je potřeba sečíst, aby byl součet roven 45? - Určete 46
Určete čtyři čísla tak, aby první tři tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti s diferencí d=-3 a poslední tři tvořila následující členy geometrické posloupnosti s qvocientem q=jedna polovina. - Dvě aritmetické
Dvě aritmetické posloupnosti mají stejný prvý člen. n-tý člen prvé posloupnosti je 15, druhé posloupnosti 21. Součet prvých n členů prvé posloupnosti je 63, druhé posloupnosti 84. Vypište součty prvních n členů obou posloupností - Součet 41
Součet prvých dvou členů klesající geometrické posloupnosti je pět čtvrtin a součet z ní vytvořené nekonečné geometrické řady je devět čtvrtin. Napište prvé tři členy geometrické posloupnosti.
- Geometrické 4
Geometrické posloupnosti s prvním členem a1=36 určete qvocient tak, aby platilo, že s2 je menší nebo rovno 252. - Povrch 32
Povrch rotačního kužele a obsah jeho podstavy jsou v poměru 18:5. Určete objem kužele, je-li jeho tělesná výška 12 cm. - Posloupnosti 81082
Součet prvních šesti členů aritmetické posloupnosti je 72 a druhý člen je sedmkrát pátý člen. Najděte první výraz a společný rozdíl.