C – I – 3 MO 2018

Nechť a, b, c jsou kladná reálná čísla, jejichž součet je 3, a každé z nich je nejvýše 2.

Dokažte, že platí nerovnost:

a2 + b2 + c2 + 3abc < 9

Výsledek

d =  1

Řešení:

a+b+c=3 0<a<2 0<b<2 0<c<2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=32=9  a2+b2+c2=92(ab+bc+ac) 92(ab+bc+ac)+3abc<9 2(ab+bc+ac)<3abc  2(ab+bc+ac)>3abc a=b=c=2 x11=2 (2 2+2 2+2 2)=24 x12=3 2 2 2=24 x11=x12  a=b=c=3/2 x21=2 (1.5 1.5+1.5 1.5+1.5 1.5)=13.5 x22=3 1.5 1.5 1.5=10.125 x21>x22   d=1a+b+c = 3 \ \\ 0<a<2 \ \\ 0<b<2 \ \\ 0<c<2 \ \\ (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \ \\ (a+b+c)^2 = 3^2 = 9 \ \\ \ \\ a^2+b^2+c^2 = 9-2(ab+bc+ac) \ \\ 9 - 2(ab+bc+ac) + 3abc < 9 \ \\ -2(ab+bc+ac) < -3abc \ \\ \ \\ 2(ab+bc+ac) > 3abc \ \\ a = b = c = 2 \ \\ x_{ 11 } = 2 \cdot \ (2 \cdot \ 2+2 \cdot \ 2+2 \cdot \ 2) = 24 \ \\ x_{ 12 } = 3 \cdot \ 2 \cdot \ 2 \cdot \ 2 = 24 \ \\ x_{ 11 } = x_{ 12 } \ \\ \ \\ a = b = c = 3/2 \ \\ x_{ 21 } = 2 \cdot \ (1.5 \cdot \ 1.5+1.5 \cdot \ 1.5+1.5 \cdot \ 1.5) = 13.5 \ \\ x_{ 22 } = 3 \cdot \ 1.5 \cdot \ 1.5 \cdot \ 1.5 = 10.125 \ \\ x_{ 21 }>x_{ 22 } \ \\ \ \\ \ \\ d = 1







Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 2 komentáře:
#
Dr Math
Návodné a doplňující úlohy:

N1. Pro reálná čísla se součtem 3 platí navíc a2 + b2 + c2 = 5. Jaké hodnoty může nabývat výraz ab+bc+ca? [Jelikož (a+b+c)2 = a2 +b2 +c2 + 2(ab+bc+ca), je nutně ab + bc + ca = 2. Hodnota je dosažitelná díky trojici (2, 1, 0).]

N2. Nezáporná reálná čísla a, b, c jsou všechna nejvýše rovna 1. Dokažte, že 3abc <= a + b + c. Kdy nastane rovnost? [Upravíme na a(1 − bc) + b(1 − ac) + c(1 − ab) >= 0, výrazy v závorkách jsou nezáporné. Rovnost nastane, právě když buď a = b = c = 0, nebo a = b = c = 1.]

D1. Dokažte, že pro reálná čísla a, b, c platí a2 +b2 +c2 >= ab+bc+ca. Kdy nastane rovnost? [Nerovnost je ekvivalentní s (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 0, která jistě platí. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c.]

D2. Reálná čísla a, b, c mají součet 3. Dokažte, že 3 = ab + bc + ca. Kdy nastane rovnost? [Plyne z rovnosti 9 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a z předešlé úlohy. Rovnost nastane jedině v případě a = b = c = 1.]

D3. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x, y, z platí nerovnost x2 + 5y2 + 4z2 = 4y(x + z), a zjistěte, kdy nastane rovnost. [Anulujte pravou stranu dané nerovnosti a upravte ji následně do tvaru (x2 − 4xy + 4y2 ) + (y2 − 4yz + 4z2 ) = 0, kde na levé straně je nezáporný součet (x − 2y)2 + (y − 2z)2 . Rovnost zde nastane, právě když platí (x, y, z) = (4c, 2c, c), kde c je libovolné reálné číslo.]

D4. Nechť a, b, c jsou délky stran trojúhelníku. Dokažte, že platí nerovnost 3a2 + 2bc > 2ab + 2ac. [Danou nerovnost upravte na tvar a 2 −(b−c)2 + (a−b)2 + (a−c)2 > 0 a rozdíl prvních dvou druhých mocnin nahraďte příslušným součinem.]

#
Vítek
Řešení je chybné, součet a + b + c musí být 3.

avatar









Další podobné příklady a úkoly:

  1. Na číselné
    axes_3m Na číselné ose jsou vyznačené obrazy tří čísel: 0, m, 3m-1. Vyznačené dílky jsou stejně dlouhé. a) vyjádřete poměr m:(3m-1) b) na číselne ose vyznačte a popište obraz čísla 1.
  2. ŽSR
    luzianky Vypočítejte jak vysoké jsou fixní roční personální náklady na provoz jednokolejný tratě dlouhé 118 km, pokud každých 5 km je stanice, kterou obsluhují tři lidé - výpravčí a dva výhybkáři v 4-dvousměnném provozu. Uvažujte průměrný plat zaměstnance železnic
  3. Trať Mládeže
    tunel Trať Mládeže z Hronské Dúbravy do Banské Štiavnice, jejíž ohlášené zrušení vzbudilo značný mediální ohlas a odpor veřejnosti, má náklad 6.3 eura na hlavu při tržbě 13 centů. Vypočítejte jaká je nutná dotace státu, pokud se na výlet touto tratí vybere sku
  4. Dělníci
    forestry_workers V lese je zaměstnáno 45 dělníků sázením stromků. Při 7 hodinové práci denně by skončili práci za 43 dní. Po 18 dnech odejde 22 dělníků; za jaký čas dokončí sázení stromků ostatní, když od toho dne budou pracovat 11 hodin denně?
  5. Výkop
    vykop_ryha Pán Milan si vypočítal, že výkop pro vodovodní přípojku, vykope za 7 dní. Jeho kamarádovi by to trvalo 8 dní. 4 dny pracoval Milan sám. Potom mu přijel kámoš pomoci a kopal z druhého konce. Kolikátý den od začátku výkopových prací se setkali?
  6. Prémie
    moeny Hrubá mzda zaměstnance byla 14712 Kč včetně 22% prémie. Kolik Kč byly prémie?
  7. Pivo
    piva V 6 kg krve dospělého člověka je po třech 10° pivech vypitých v krátké době po sobě 7 g alkoholu. Kolik je to promile?
  8. Řeka
    kongo_river Vypočítejte o kolik promile průměrně klesá řeka Vltava, pokud na úseku dlouhém 873 km teče voda z výšky 1343 m nad mořem na výšku 198 m nad mořem.
  9. Babkine hodiny
    kukuckove-hodiny Babkine hodiny se každou hodinu zpožďují o půl minuty. Babka jejich o 8.00 hod. nastaví přesně. Kolik budou hodiny ukazovat o 24 hod.?
  10. Volební matematika
    statny-znak-sr_1 Ve volbách získalo 14 politických stran takové podíly hlasů voličů: party A 49.8 %party B 11.4 %party C 7.9 %party D 6.3 %party E 6.1 %party F 5.7 %party G 4.6 %party H 2.9 %party I 2.2 %party J 1.3 %party K 1 %party L 0.7 %party M 0.1 % Vypočítejte jak
  11. Paušál 2013 SR
    istoty_komunisti Od roku 2013 plánuje slovenská vláda více zdanit živnostníky. Místo 40% paušálních výdajů budou paušálně výdaje 40% hrubého příjmu maximálně však 420 Eur. Vypočítejte kolik procent budou tvořit paušálně výdaje v roce 2013 z hrubého příjmu 2236 Eur.
  12. Krev
    krv V lidském těle je přibližně 7.8% hmotnosti těla krev. Kolik kilogramů krve je v těle člověka s hmotností 115 kg?
  13. Pračka
    pracka Buben automatické pračky má při praní 54 otáček za minutu. Řemenice elektromotoru pračky má průměr 5 cm. Jaký průměr musí mít řemenice bubnu pračky, pokud elektromotor má 301 otáček za minutu?
  14. Cyklista
    1cyclist Cyklista přejde do kopce 10 km za 45 minut az kopce za 21 minut, přičemž v obou případech působí na pedály stejně velkou silou. Za kolik projde 10 km po rovině?
  15. Porucha TV
    old_tv Televizor má za 10000 hodín v průměru 25 poruch. Určete pravděpodobnost poruchy televizoru za 200 hodin provozu.
  16. Brouci 2
    morusa Brouci pěstovaní na listech ze 40 moruší mohou dát ročně 40 kg zámotků. Z tohoto množství se vyrobí 100 m hedvábí. Kolik hedvábí lze vyrobit ze zámotků vypěstovaných na listí z 200 moruší?
  17. Slepice
    chickens 4 slepice snesou za 4 dny 4 vejce. Kolik vajec snese 12 slepic za 12 dní?