Z=-√2-√2i 74744

Nechť komplexní číslo z=-√2-√2i, kde i² = -1. Najděte |z|, arg(z), z* (kde * označuje komplexní konjugát) a (1/z). V případě potřeby napište své odpovědi ve tvaru a + i b, kde ai b jsou reálná čísla.
Označte polohy čísel z, z* a (1/z) na Argandově diagramu.

Správná odpověď:

a =  2
φ =  0,7854
Φ =  45 °
c = -√2+√2i
d = -√2/4 + √2/4 i

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} z=-\surd 2-\surd 2i=Re+Im\cdot i=x+y\cdot i \\ x=-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\doteq -1,4142 \\ y=-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\doteq -1,4142 \\ a=\sqrt{R{e}^2+I{m}^2} \\ a=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1,4142{)}^2+(-1,4142{)}^2}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{tg}\phi =y:x=(-1,4142):(-1,4142)=1=1:1 \\ \phi =\mathrm{arctg}(y/x)=\mathrm{arctg}((-1,4142)/(-1,4142))=0,7854 \end{gathered}$$

$\Phi =\phi \to \text{°}=\phi \cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=0,7854\cdot \frac{180}{\pi }\text{°}=45\text{°}=45^{\circ }$

$$\begin{gathered} c=conjz=x-y\cdot i \\ c=-\surd 2+\surd 2i \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} d=1/z \\ d=\frac{1}{x+i\cdot y}=\frac{1}{x+i\cdot y}\cdot \frac{x-i\cdot y}{x-i\cdot y} \\ d=\frac{x-i\cdot y}{x^2-y^2} \\ X=\frac{x}{x^2+y^2}=\frac{(-1,4142)}{(-1,4142{)}^2+(-1,4142{)}^2}\doteq -0,3536 \\ Y=\frac{-y}{x^2+y^2}=\frac{-(-1,4142)}{(-1,4142{)}^2+(-1,4142{)}^2}\doteq 0,3536 \\ d=-\surd 2/4+\surd 2/4i \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad