Vypočítajte

Vypočítajte objem a povrch devítibokého ihlanu, ktorého základňa je vpísana kruhu s polomerom ρ = 7,2 cm a ktorého bočná hrana s = 10,9 cm.

Správna odpoveď:

V =  409,0382 cm³
S =  299,899 cm²

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} \rho =7,2\text{cm} \\ s=10,9\text{cm} \\ n=9 \\ {h}^2+{\rho }^2=s^2 \\ h=\sqrt{s^2-{\rho }^2}=\sqrt{10,9^2-7,2^2}\doteq 8,1835\text{cm} \\ \alpha =\frac{2\pi }{2\cdot n}=\frac{2\cdot 3,1416}{2\cdot 9}\doteq 0,3491\text{rad} \\ \sin \alpha =a/2:\rho \\ a=2\cdot \rho \cdot \sin \alpha =2\cdot 7,2\cdot \sin 0,3491\doteq 4,9251\text{cm} \\ {h}_2=\sqrt{{\rho }^2-(a/2{)}^2}=\sqrt{7,2^2-(4,9251/2{)}^2}\doteq 6,7658\text{cm} \\ {S}_1=\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{4,9251\cdot 6,7658}{2}\doteq 16,6611\text{cm} \\ {S}_9=n\cdot S_1=9\cdot 16,6611\doteq 149,9495{\text{cm}}^2 \\ V=\frac{1}{3}\cdot S_9\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 149,9495\cdot 8,1835=409,0382{\text{cm}}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S_2=\frac{a\cdot h_2}{2}=\frac{4,9251\cdot 10,6182}{2}\doteq 16,6611{\text{cm}}^2 \\ {h}_2=\sqrt{h^2+h_2^2}=\sqrt{8,1835^2+10,6182^2}\doteq 10,6182\text{cm} \\ S=S_9+n\cdot S_2=149,9495+9\cdot 16,6611=299,899{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad