Rotačného 81311

Povrch rotačného kužeľa a obsah jeho podstavy sú v pomere 18:5. Určte objem kužeľa, ak je jeho telesná výška 12 cm.

Správna odpoveď:

V =  314,1593 cm³

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} v=12\text{cm} \\ S:S_1=18:5 \\ {S}_1=\pi r^2 \\ S=\pi r^2+\pi rs \\ 18/5=\frac{\pi r^2+\pi rs}{\pi r^2} \\ 18/5=\frac{r+s}{r} \\ 13r=5s \\ {s}^2=r^2+v^2 \\ {s}^2=(5/13s{)}^2+v^2 \\ s=v/\sqrt{1-(5/13{)}^2}=12/\sqrt{1-(5/13{)}^2}=13\text{cm} \\ r=5/13\cdot s=5/13\cdot 13=5\text{cm} \\ {S}_1=\pi \cdot r^2=3,1416\cdot 5^2\doteq 78,5398{\text{cm}}^2 \\ {S}_2=\pi \cdot r\cdot s=3,1416\cdot 5\cdot 13\doteq 204,2035{\text{cm}}^2 \\ V=\frac{1}{3}\cdot S_1\cdot v=\frac{1}{3}\cdot 78,5398\cdot 12\doteq 314,1593{\text{cm}}^3 \\ \text{ Skuˊsˇka spraˊvnosti: } \\ S=S_1+S_2=78,5398+204,2035\doteq 282,7433{\text{cm}}^2 \\ t=S/S_1=282,7433/78,5398=\frac{18}{5}=3,6 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad