Délky stran a úhly

Vypočtěte délky stran a úhly v pravoúhlém trojúhelníku. S = 210, o = 70.

Správná odpověď:

a =  21
b =  20
c =  29
A =  46,3972 °
B =  43,6028 °
C =  90 °

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} S=210 \\ o=70 \\ o=a+b+c \\ S=ab\mathrm{/}2 \\ o=a+b+\sqrt{a^2+b^2} \\ 2S=ab \\ b=2S\mathrm{/}a \\ 70=a+420\mathrm{/}a+\sqrt{a^2+(420\mathrm{/}a{)}^2} \\ 70a=a^2+420+\sqrt{a^4+420^2} \\ 70a-a^2-420=\sqrt{a^4+420^2} \\ {a}^4-140a^3+5740a^2-58800a+176400=a^4+420^2 \\ -140a^3+5740a^2-58800a+176400=420^2 \\ 140a^3-5740a^2+58800a=0 \\ 140a^2-5740a+58800=0 \\ 140a^2-5740a+58800=0 \\ 140a^2-5740a+58800=0 \\ p=140;q=-5740;r=58800 \\ D=q^2-4pr=5740^2-4\cdot 140\cdot 58800=19600 \\ D>0 \\ {a}_{1,2}={\displaystyle \frac{-q\pm \sqrt{D}}{2p}}={\displaystyle \frac{5740\pm \sqrt{19600}}{280}} \\ {a}_{1,2}={\displaystyle \frac{5740\pm 140}{280}} \\ {a}_{1,2}=20.5\pm 0.5 \\ {a}_1=21 \\ {a}_2=20 \\ \text{ Soucinovy tvar rovnice: } \\ 140(a-21)(a-20)=0 \\ a=a_1=21=21 \end{gathered}$$

Výpočet overte naším kalkulátorem kvadratických rovnic.


Vyzkoušejte výpočet přes naší kalkulačku trojúhelníků.

$$\begin{gathered} b=2\cdot S\mathrm{/}a=2\cdot 210\mathrm{/}21=20 \\ b=a_2=20 \end{gathered}$$

$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{21^2+20^2}=29$

$A={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (a\mathrm{/}c)={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (21\mathrm{/}29)=46.3972\text{°}=46\mathrm{°}23^{\mathrm{\prime }}50\mathrm{"}$

$B={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (b\mathrm{/}c)={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (20\mathrm{/}29)=43.6028\text{°}=43\mathrm{°}36^{\mathrm{\prime }}10\mathrm{"}$

$C=90=90\text{°}$

Zkusit jiný příklad

Související a podobné příklady:

• Poměr stran
  Poměr stran pravoúhlého trojúhelníku je 13: 12: 5. Vypočítejte vnitřní úhly trojúhelníku.
• Pravoúhlý trojúhelník
  Vypočítejte chybějící stranu b a vnitřní úhly, obvod a obsah pravoúhlého trojúhelníku pokud a=10 cm a přepona c = 16 cm.
• PT odvesna a obvod
  Vypočtěte délky stran pravoúhlého trojúhelníku ABC s přeponou c, pokud délka odvěsny a = 84 a obvod trojúhelníku o = 269.
• Pravoúhly trojúhelník 9
  V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je dáno : a=17cm, Vc=8 cm. Vypočítejte délku stran b, c, jeho obsah S, obvod o, délku poloměrů kružnic trojúhelníku opsané R a vepsané r a velikost úhlů alfa a beta.
• Největší
  Vypočtěte největší úhel trojuhelníku o stranách 197, 208, 299.
• Těžnice RR trojúhelníku
  Rovnoramenný trojúhelník ABC má základnu | AB | = 16cm a rameno délky 10cm. Jaké jsou délky těžnic?
• Vypočtěte
  Vypočtěte největší úhel trojúhelníku, jehož strany mají velikost: 2a, 3/2a, 3a
• V čtverci
  V čtverci ABCD se stranou a = 6 cm je bod E střed strany AB a bod F střed strany BC. Vypočítejte velikost všech úhlů trojúhelníku DEF a délky jeho stran.
• Úhly2
  Určete velikost nejmenšího vnitřního úhlu pravoúhlého trojúhelníku, jehož velikosti stran tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.
• Pravouhlý
  Určitě úhly pravoúhlého trojúhelníku, s přeponou c a odvesnamy a, b; jestliže platí: a +b = 1,051c
• Trojúhelník SUS
  Vypočítejte plochu a obvod trojúhelníku, pokud jeho dvě strany jsou dlouhé 88 dm a 88 dm a úhel nimi sevřený je 170°.
• Střecha 8
  Štít domu má tvar rovnoramenného trojúhelníku s rameny délky 4 m velikosti základny 6 m. Jak velký úhel alfa svírá jeho střecha?
• Decagon
  Vypočtěte obsah a obvod pravidelného desetiúhelníku, je-li dán jeho poloměr kružnice opsané R=1m
• RR trojúhelník
  Vypočítej obsah rovnoramenného trojúhelníku KLM, jestliže pro délky jeho stran platí k:l:m = 4:4:3 a má obvod 377 mm.
• V terénu - věta SSU
  V terénu byla měřena vzdálenost bodů P a Q rovná 356 m. Úsečka PQ je vidět od pozorovatele pod zorným úhlem 107°22'. Vzdálenost pozorovatele od místa P je 271 m. Urči zorný úhel, pod kterým je vidět místo P a pozorovatele.
• Odvěsny
  V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C známe délku strany AB = 24 cm a úhel při vrcholu B = 71°. Vypočítejte délku odvěsen trojúhelníku.
• Obvod a odvěsny
  Určete obvod pravoúhlého trojúhelníku, jestliže délka jedné odvěsny je 75% délky druhé odvěsny a jeho obsah je 24 cm².