V trojuholníku 10

V trojuholníku ABC vypočítajte veľkosti všetkých výšok, uhlov, obvod a obsah, ak je dané a-40cm, b-57cm, c-59cm

Správna odpoveď:

o =  156 cm
S =  1087,4907 cm²
v₁ =  54,3745 cm
v₂ =  38,1576 cm
v₃ =  36,8641 cm
A =  40,2961 °
B =  67,1615 °
C =  72,5424 °

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} a=40\text{ cm } \\ b=57\text{ cm } \\ c=59\text{ cm } \\ o=a+b+c=40+57+59=156\text{ cm} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} s=o\mathrm{/}2=156\mathrm{/}2=78\text{ cm } \\ S=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}=\sqrt{78\cdot (78-40)\cdot (78-57)\cdot (78-59)}=114\sqrt{91}=1087.4907{\text{cm}}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} S={\displaystyle \frac{a\cdot v_1}{2}} \\ {v}_1=2\cdot S\mathrm{/}a=2\cdot 1087.4907\mathrm{/}40=54.3745\text{ cm} \end{gathered}$$

$v_2=2\cdot S\mathrm{/}b=2\cdot 1087.4907\mathrm{/}57=4\sqrt{91}=38.1576\text{ cm}$

$v_3=2\cdot S\mathrm{/}c=2\cdot 1087.4907\mathrm{/}59=36.8641\text{ cm}$

$$\begin{gathered} \sin A=v_3:b=36.8641:57\doteq 0.6467 \\ A={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (v_3\mathrm{/}b)={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (36.8641\mathrm{/}57)=40.2961\text{°}=40\mathrm{°}17^{\mathrm{\prime }}46\mathrm{"} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sin B=v_3:a=36.8641:40\doteq 0.9216 \\ B={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (v_3\mathrm{/}a)={\displaystyle \frac{180\mathrm{°}}{\pi }}\cdot \arcsin (36.8641\mathrm{/}40)=67.1615\text{°}=67\mathrm{°}{9}^{\mathrm{\prime }}41\mathrm{"} \end{gathered}$$

$C=180-A-B=180-40.2961-67.1615=72.5424\text{°}=72\mathrm{°}32^{\mathrm{\prime }}33\mathrm{"}$

Vyskúšajte výpočet cez kalkulačku trojuholníkov.

Skúsiť iný príklad

Súvisiace a podobné príklady:

• Obsah a uhly
  Vypočítajte veľkosti všetkých strán a vnútorných uhlov trojuholníka ABC, ak je dané: S = 501,9; α = 15°28 'a β = 45°.
• Ťažisko a obsah
  V trojuholníku ABC sú dané dĺžky jeho ťažníc tc=9, ta=6. Označme T priesečník ťažníc, S stred strany BC. Veľkosť uhla CTS je 60°. Vypočítajte dĺžku strany BC s presnosťou na 2 desatinné miesta
• Spočítajte obsah
  V kosoštvorci ABCD sú dané veľkosti uhlopriečok e = 24 cm; f = 10 cm. Spočítajte dĺžku strany kosoštvorca a veľkosti uhlov, spočítajte obsah kosoštvorce
• Z ťažnice
  Vypočítaj obvod, obsah a veľkosti zostávajúcich uhlov trojuholníka ABC, ak je dané: a = 8,4; β = 105° 35 '; ťažnice ta = 12,5.
• Na kosínus
  Vypočítaj veľkosti zostávajúcich uhlov trojuholníka ABC, ak je dané: a = 3cm; b = 5cm; c = 7cm (použi sínusovú a kosinová vetu).
• Rovnobežník - uhlopriečky
  Vypočítajte obsah rovnobežníka, ak sú veľkosti strán a=80, b=60 a veľkosť uhla zovretého uhlopriečkami je 60°.
• V pravouhlom 7
  V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C poznáme dĺžky strán AC = 9 cm a BC = 7 cm. Vypočítajte dĺžku poslednej strany trojuholníka a veľkosť všetkých uhlov.
• Funkcie sinus, kosinus
  Vypočítaj veľkosti zostávajúcich strán a uhlov pravouhlého trojuholníka ABC, ak je dané: b = 10 cm; c = 20 cm; uhol alfa = 60° a uhol beta = 30° (použi Pytagorova vetu a funkcie sínus, kosínus, tangens, kotangens)
• Štyri strany lichobežníka
  V lichobežníka ABCD je | AB | = 73,6 mm; | BC | = 57 mm; | CD | = 60 mm; | AD | = 58,6 mm. Vypočítajte veľkosti jeho vnútorných uhlov.
• Ťažnice
  Vypočítajte obsah trojuholníka ABC ak platí a= 10 cm, c=8 cm, ta=6 cm.
• Obsah 18
  Obsah rovnoramenného trojuholníka je 8 cm², dĺžka jeho ramena je 4 cm. Vypočítajte veľkosti jeho vnútorných uhlov.
• Vypočítajte 7
  Vypočítajte dĺžku zvyšných dvoch strán a veľkosť uhlov v pravouhlom trojuholníku ABC, ak a=10 cm, uhol alfa = 18°40' .
• Pravouhlý trojuholník
  Vypočítajte chýbajucu stranu b a vnútorné uhly, obvod a obsah pravouhlého trojuholníka ak a=10 cm a prepona c = 16 cm.
• Trojuholník SUS
  Vypočítajte plochu a obvod trojuholníka, ak jeho dve strany sú dlhé 51 cm a 110 cm a uhol nimi zovretý je 130°.
• Trojuholník
  Vypočítajte obsah trojuholníka ABC, ak je dané: b = c = 17 cm, r = 19 cm (r je polomer opísanej kružnice).
• Strany
  Strany rovnobežníka sú 8 a 6 (cm), odchýlka uhlopriečok je 60°. Aký je jeho obsah?
• Omega
  Vypočítaj obvod trojuholníka ABC ak platí a=12 cm, uhol beta je 38stupnov a gama je 92 stupňov.