V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO

V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania. Sumu 53 kocúrkovských korún však bez vydávania zaplatiť nemožno. Zistite, ktoré hodnoty mohli byť na kocúrkovských minciach. Určte aspoň dve riešenia.

Výsledok

a1 =  3
b1 =  28
a2 =  4
b2 =  19
a3 =  7
b3 =  10
a4 =  2
b4 =  55

Riešenie:

53ax+by 53<ax+by  a1=353 \ne ax + by \ \\ 53 < ax + by \ \\ \ \\ a_{1}=3
b1=28 t1=18 a1+0 b1=18 3+0 28=54 t2=9 a1+1 b1=9 3+1 28=55 t3=0 a1+2 b1=0 3+2 28=56 ... b1=28b_{1}=28 \ \\ t_{1}=18 \cdot \ a_{1}+0 \cdot \ b_{1}=18 \cdot \ 3+0 \cdot \ 28=54 \ \\ t_{2}=9 \cdot \ a_{1}+1 \cdot \ b_{1}=9 \cdot \ 3+1 \cdot \ 28=55 \ \\ t_{3}=0 \cdot \ a_{1}+2 \cdot \ b_{1}=0 \cdot \ 3+2 \cdot \ 28=56 \ \\ ... \ \\ b_{1}=28
a2=4a_{2}=4
b2=19 t4=4 a2+2 b2=4 4+2 19=54 t5=9 a2+1 b2=9 4+1 19=55 t6=14 a2+0 b2=14 4+0 19=56 t7=0 a2+3 b2=0 4+3 19=57 ...b_{2}=19 \ \\ t_{4}=4 \cdot \ a_{2}+2 \cdot \ b_{2}=4 \cdot \ 4+2 \cdot \ 19=54 \ \\ t_{5}=9 \cdot \ a_{2}+1 \cdot \ b_{2}=9 \cdot \ 4+1 \cdot \ 19=55 \ \\ t_{6}=14 \cdot \ a_{2}+0 \cdot \ b_{2}=14 \cdot \ 4+0 \cdot \ 19=56 \ \\ t_{7}=0 \cdot \ a_{2}+3 \cdot \ b_{2}=0 \cdot \ 4+3 \cdot \ 19=57 \ \\ ...
a3=7a_{3}=7
b3=10b_{3}=10
a4=2a_{4}=2
b4=55 t8=27 a4+0 b4=27 2+0 55=54 t9=0 a4+1 b4=0 2+1 55=55 t10=28 a4+0 b4=28 2+0 55=56 ...b_{4}=55 \ \\ t_{8}=27 \cdot \ a_{4} + 0 \cdot \ b_{4}=27 \cdot \ 2 + 0 \cdot \ 55=54 \ \\ t_{9}=0 \cdot \ a_{4} + 1 \cdot \ b_{4}=0 \cdot \ 2 + 1 \cdot \ 55=55 \ \\ t_{10}=28 \cdot \ a_{4} + 0 \cdot \ b_{4}=28 \cdot \ 2 + 0 \cdot \ 55=56 \ \\ ...



Naše príklady z veľkej miery nám poslali alebo vytvorili samotní žiaci a študenti. Preto budeme veľmi radi, ak prípadne chyby, ktoré ste našli, pravopisné chyby alebo preštylizovanie príkladu nám prosím pošlite. Ďakujeme!





Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):


Najobľúbenejšie komentáre:
#
Žiak
ako to mám odvôvodniť?

3 mesiace  7 Likes
Zobrazujem 13 komentárov:
#
Markie
2, 55

#
Markie
2, 55
3, 28
4, 19
7, 10

ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...

4 mesiace  2 Likes
#
Markie
a<b
a*b -b -a = 53

beriem spat ;-)

4 mesiace  1 Like
#
Žiak
ako to mám odvôvodniť?

3 mesiace  7 Likes
#
Žiiiaaak
taky by mě zajímalo

#
Franta
Frobeniovo číslo
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.

Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.

Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.

Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54

Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10

#
Slniecko
V texte sa píše:" Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania." Ako viete pomocou mincí napr. 3 a 28 zaplatiť sumu 54?

#
Slniecko
nie, 54, ale 55 tam malo byť (  mojom pôvodnom texte ).

#
Matematik
3*9+28*1=55

... zasnem ze si ludia aspon elementarne overenie toho co tvrdia nevyskusaju na kalkulacke,,, alebo na internete:

https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/celociselne-diofantove-rovnice?input=3a%2B28b%3D55&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj

Je to ako pravo volit - ma ho kazdy. Ludia volia pocitmi, emociami, cize si zvolia zlych zastupcov... Pripadne takych ktory ich uplatia predvolebnou korupciou (zvysenie dochodkov, 13. dochodok...).  Urcite by pravo volit malo byt nejak zmenene, napr. kazdy hlas by mal vahu rocnych dani ktore plati volič štátu. Kto platí málo, jeho hlas bude oslabený. Kto neplatí nič, bude mať nulový hlas.To bu potom do parlamentu neboli populisti vobec zvoleny.

#
Franta
Pane "Matematiku", velkým nebezpečím každé společnosti je arogance

#
Žiak
Nemôže to byť jednoducho 53 a 1? :D

#
Žiak
myslím 54 a 1, nie 53 a 1

#
Matematik
tak skusme: 54 = 55a+2b

a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0

a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7

cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...

avatar









Tipy na súvisiace online kalkulačky
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. MO Z9-I-6 2019
    triangles Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
  2. Z9–I–3 MO 2019
    reciprocal Pre ktoré celé čísla x je podiel (x+11)/(x+7) celým číslom. Riešení je údajne viac.
  3. MO C-I-1 2019
    numbers Nájdite všetky štvorciferné čísla abcd s ciferným súčtom 12 také, že ab-cd=1
  4. Na začiatku
    skola Na začiatku sú 2 chlapci a x dievčat. Potom do triedy prídu ďalšie 3 deti. Na konci je o 3-krát menej chlapcov ako dievčat. Koľko je dievčat a chlapcov v triede
  5. Kvíz 4
    test_1 V súťaži odpovedá 10 súťažiacich na päť otázok, v každom kole na jednu otázku. Kto odpovie správne, získa v danom kole toľko bodov, koľko súťažiacich odpovedalo nesprávne. Jedna zo súťažiacich po súťaži povedala : Celkovo sme získali 116 bodov, z toho j
  6. Na jednej 2
    penize Na jednej malej škole na Morave pracuje spolu 10 učiteľov. Mesačný plat každého z nich je 21 500 CZK alebo 21 800 CZK alebo 22 500 CZK podľa ich vzdelania a veku. Priemerný mesačný plat učiteľa tejto školy je 21 850 CZK. Koľko učiteľov tejto školy zarobí
  7. Obdĺžniky
    rectangles_1 Koľko rôznych obdĺžnikov možno zostaviť zo 60 štvorcových dlaždíc s obsahom 1 m štvorcový. Určte rozmery týchto obdĺžnikov.
  8. Písomka z matiky
    test Päť najlepších matematikov z triedy sa podujalo pomôcť pani učiteľke s výpočtom priemernej známky z písomky. Nadiktovali jej tieto výsledky: Mišo: „Mne vyšlo 3,30. “ Dáša: „To je čudné, lebo mne to vyšlo presne 3,45. “ Jana: „Asi neviete rátať, lebo podľ
  9. V rezorte
    hviezdicky_mo V rezorte Sunny Beach je niekol'ko hotelov. Sú medzi nimi jedno-, dvoj-, troj- a štvor- hviezdičkové hotely. Janka pri prechádzke spočítala, že súčet všetkých hviezdičiek v rezorte je 69. Viac ako polovica hviezdičiek patrí jednohviezdičkovým hotelom. Poče
  10. Kytice 2
    tulipany Simona natrhala v záhrade 63 tulipánov a uviazala z nich dvojfarebné kytice pre svoje priateľky. Tulipány boli iba červené a biele. Do každej kytice dala rovnako veľa tulipánov, pričom tri z nich boli vždy červené. Koľko mohla Simona odtrhnúť' bielych tul
  11. Jablká a hrušky
    banan Jablká stoja 50 centov kus, hrušky 60 centov kus, banány lacnejšie ako hrušky. Babicka kúpila 5ks ovocia, bol tam len jeden banán a zaplatila 2 eurá 75 centov. Koľko bolo jabĺk a koľko hrušiek?
  12. Pozorovali
    cars Pozorovali sme cestnú premávku. Videli sme len bicykle a autá. Na ceste bolo spolu 40 kolies. Uved aspoň 3 možnosti koľko mohlo byt bicyklov a koľko áut?
  13. V hoteli 3
    hotel_8 V hoteli je 27 postelí v niekoľkých izbách. Sú tu jednolôžkové, dvojlôžkové a trojlôžkové izby. Koľko môže byť v hoteli jednolôžkových, dvojlôžkových a trojlôžkových izieb? Uveď aspoň tri možnosti.
  14. Samopočet
    nisa_Samopočet Samopočet funguje presne ako kalkulačka. Hostinský chcel na samopočte sčítať niekoľko trojciferných prirodzených čísel. Na prvý pokus dostal výsledok 2224. Pre kontrolu sčítal tieto čísla znova a vyšlo mu 2198. Preto sčítal tieto čísla ešte raz a teraz do
  15. Ceruzky
    fixy_2 600 ceruziek máme rozdeliť na tri kopy. V najväčšej kope je o 10 ceruziek viac ako v najmenšej. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?
  16. Kvádre povrch
    kvader Koľko existuje kvádrov s celočíselnými rozmermi hrán, ak povrch je 48 m2?
  17. V hoteli 2
    hotel-montfort-tatry-2_2 V hoteli Holiday majú na každom poschodí rovnaký počet izieb. Izby sú číslované prirodzenými číslami postupne od prvého poschodia, žiadne číslo nie je vynechané a každá izba má iné číslo. Do hotela pricestovali traja turisti. Prvý sa ubytoval v izbe číslo