MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Správny výsledok:

K =  2019

Riešenie:

$$\begin{gathered} K=3k,k\in N \\ K=a+b+c \\ a<b<c \\ 3k=a+b+c \\ max=(K-1)\mathrm{/}2 \\ min=1 \\ K=j_1+j_2+j_3 \\ {j}_1<j_2<j_3 \\ {j}_1=1\vee j_1=2 \\ {j}_2=(K-3)\mathrm{/}2 \\ {j}_3=(K-1)\mathrm{/}2 \\ 1+(K-3)\mathrm{/}2+(K-1)\mathrm{/}2=K \\ K=d_1+d_2+d_3 \\ {d}_1<d_2<d_3 \\ {d}_1=K\mathrm{/}3-1 \\ {d}_2=K\mathrm{/}3+0 \\ {d}_3=K\mathrm{/}3+1 \\ {d}_1+j_3=1681 \\ K\mathrm{/}3-1+(K-1)\mathrm{/}2=1681 \\ 3k\mathrm{/}3-1+(3k-1)\mathrm{/}2=1681 \\ 3\cdot k\mathrm{/}3-1+(3\cdot k-1)\mathrm{/}2=1681 \\ 15k=10095 \\ k=673 \\ K=3\cdot k=3\cdot 673=2019 \\ {j}_1=2\text{ mm } \\ {j}_2=(K-3)\mathrm{/}2=(2019-3)\mathrm{/}2=1008\text{ mm } \\ {j}_3=(K-1)\mathrm{/}2=(2019-1)\mathrm{/}2=1009\text{ mm } \\ {o}_1=j_1+j_2+j_3=2+1008+1009=2019\text{ mm } \\ {d}_1=K\mathrm{/}3-1=2019\mathrm{/}3-1=672\text{ mm } \\ {d}_2=K\mathrm{/}3=2019\mathrm{/}3=673\text{ mm } \\ {d}_3=K\mathrm{/}3+1=2019\mathrm{/}3+1=674\text{ mm } \\ {o}_2=d_1+d_2+d_3=672+673+674=2019\text{ mm } \\ {o}_1=o_2=K \\ {x}_1=d_1+j_3=672+1009=1681 \\ K=2019 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad

Zobrazujem 1 komentár:

Žiak

ako ste zistili k?

10 mesiacov  Like

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

• Marienka - mo
  Marienka rozmiestni do vrcholov pravidelného osemuholníka rôzne počty od jedného po osem cukríkov. Peter si potom môže vybrať, ktoré tri kôpky cukríkov dá Marienke, ostatné si ponechá. Jedinou podmienkou je, že tieto tri kôpky ležia vo vrcholoch rovnorame
• MO Z7–I–3 2019
  Roman má rád kúzla a matematiku. Naposledy čaroval s trojcifernými alebo štvorcifernými číslami takto: • z daného čísla vytvoril dve pomocné čísla tak, že ho rozdelil medzi ciframi na mieste stoviek a desiatok (napr. Z čísla 581 by dostal 5 a 81), • pomoc
• Ivo chce
  Ivo chce narysovať všetky trojuholníky, ktorých dve strany majú dĺžku 4cm a 9 cm a aj dĺžka tretej strany je vyjadrená celými centimentrami. Koľko trojuholníkov musí narysovať?
• Z9-I-4
  Katka si myslela päťciferné prirodzené číslo. Do zošita napísala na prvý riadok súčet mysleného čísla a polovice mysleného čísla. Na druhý riadok napísala súčet mysleného čísla a pätiny mysleného čísla. Na tretí riadok napísala súčet mysleného čísla a dev
• C – I – 3 MO 2018
  Nech a, b, c sú kladné reálne čísla, ktorých súčet je 3, a každé z nich je nanajvýš 2. Dokážte, že platí nerovnosť: a2 + b2 + c2 + 3abc < 9
• Z6 – I – 6 MO 2019
  Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Medzi
• MO 2019 Z9–I–5
  Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Majka
• MO B 2019 - uloha 2
  Prirodzené číslo n má aspoň 73 dvojciferných deliteľov. Dokážte, že jedným z nich je číslo 60. Uveďte tiež príklad čísla n, ktoré má práve 73 dvojciferných deliteľov, vrátane náležitého zdôvodnenia.
• V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO
  V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne
• Na papieri
  Na papieri bolo napísaných niekoľko kladných celých čísel. Miška si pamätala iba to, že každé číslo bolo polovicou súčtu všetkých ostatných čísel. Koľko čísel mohlo byť napísaných na papieri?
• Z7-I-4 MO 2017
  Na stole ležalo šesť kartičiek s ciframi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anežka z týchto kartičiek zložila šesťciferné číslo, ktoré bolo deliteľné šiestimi. Potom postupne odoberala kartičky sprava. Keď odobrala prvú kartičku, zostalo na stole päťciferné číslo deliteľné
• Strany trojuholníka
  Trojuholník má obvod 21 cm a dĺžky jeho strán sú v pomere 6: 5: 3. Určite v cm dĺžku najdlhšej strany trojuholníka.
• Z9-I-5 MO 2017 obdlžník
  Vnútri obdlžníka ABCD ležia body M a N. Strana AB je 22 cm a kružnica opísaná trojuholníku AND má polomer 10cm a úsečky MA, MD, MN, NB a NC sú navzájom zhodné. Určite dĺžku strany BC.
• Trojuholník 39
  Trojuholník má dĺžky strán vyjadrené v celých centimetroch. Jedna z nich meria 8 cm a súčet veľkostí zvyšných dvoch je 32 cm. Urč dĺžky zvyšných strán. Nájdi všetky riešenia.
• V hoteli 2
  V hoteli Holiday majú na každom poschodí rovnaký počet izieb. Izby sú číslované prirodzenými číslami postupne od prvého poschodia, žiadne číslo nie je vynechané a každá izba má iné číslo. Do hotela pricestovali traja turisti. Prvý sa ubytoval v izbe číslo
• Richardove čísla Z8-I-2 2019
  Richard sa pohrával s dvoma päťcifernými číslami. Každé pozostávalo z navzájom rôznych cifier, ktoré pri jednom boli všetky nepárne a pri druhom všetky párne. Po chvíli zistil, že súčet týchto dvoch čísel začína dvojčíslím 11 a končí číslom 1 a že ich roz
• MO - trojuholníky
  Na stranách AB a AC trojuholníka ABC leží postupne body E a F, na úsečke EF leží bod D. Přmky EF a BC sú rovnobežné a súčasne platí FD:DE = AE:EB = 2:1. Trojuholník ABC má obsah 27 hektárov a úsečkami EF, AD a DB je rozdelený na štyri časti. Určite obsahy