MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Správna odpoveď:

K =  2019

Postup správneho riešenia:

$$\begin{gathered} K=3k,k\in N \\ K=a+b+c \\ a<b<c \\ 3k=a+b+c \\ \max =(K-1)/2 \\ min=1 \\ K=j_1+j_2+j_3 \\ {j}_1<j_2<j_3 \\ {j}_1=1\vee j_1=2 \\ {j}_2=(K-3)/2 \\ {j}_3=(K-1)/2 \\ 1+(K-3)/2+(K-1)/2=K \\ K=d_1+d_2+d_3 \\ {d}_1<d_2<d_3 \\ {d}_1=K/3-1 \\ {d}_2=K/3+0 \\ {d}_3=K/3+1 \\ {d}_1+j_3=1681 \\ K/3-1+(K-1)/2=1681 \\ 3k/3-1+(3k-1)/2=1681 \\ 3\cdot k/3-1+(3\cdot k-1)/2=1681 \\ 15k=10095 \\ k=\frac{10095}{15}=673 \\ k=673 \\ K=3\cdot k=3\cdot 673=2019 \\ {j}_1=2\text{mm} \\ {j}_2=(K-3)/2=(2019-3)/2=1008\text{mm} \\ {j}_3=(K-1)/2=(2019-1)/2=1009\text{mm} \\ {o}_1=j_1+j_2+j_3=2+1008+1009=2019\text{mm} \\ {d}_1=K/3-1=2019/3-1=672\text{mm} \\ {d}_2=K/3=2019/3=673\text{mm} \\ {d}_3=K/3+1=2019/3+1=674\text{mm} \\ {o}_2=d_1+d_2+d_3=672+673+674=2019\text{mm} \\ {o}_1=o_2=K \\ {x}_1=d_1+j_3=672+1009=1681 \\ K=2019 \end{gathered}$$

Skúsiť iný príklad