MO Z9-I-6 2019

Kristína zvolila isté nepárne prirodzené číslo deliteľné tromi. Jakub s Dávidom potom skúmali trojuholníky, ktoré majú obvod v milimetroch rovný Kristínou zvolenému číslu a ktorých strany majú dĺžky v milimetroch vyjadrené navzájom rôznymi celými číslami.
Jakub našiel taký trojuholník, v ktorom najdlhšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu zapísal na tabuľu. Dávid našiel taký trojuholník, v ktorom najkratšia zo strán má najväčšiu možnú dĺžku, a túto hodnotu tiež zapísal na tabuľu. Kristína obe dĺžky na tabuli správne sčítala a vyšlo jej 1 681 mm. Určte, ktoré číslo Kristína zvolila.

Správny výsledok:

K = 2019

Riešenie:

K = 3 k, k \in N K = a + b + c a < b < c 3 k = a + b + c m a x = (K - 1) / 2 m i n = 1 K = j_{1} + j_{2} + j_{3} j_{1} < j_{2} < j_{3} j_{1} = 1 \lor j_{1} = 2 j_{2} = (K - 3) / 2 j_{3} = (K - 1) / 2 1 + (K - 3) / 2 + (K - 1) / 2 = K K = d_{1} + d_{2} + d_{3} d_{1} < d_{2} < d_{3} d_{1} = K / 3 - 1 d_{2} = K / 3 + 0 d_{3} = K / 3 + 1 d_{1} + j_{3} = 1681 K / 3 - 1 + (K - 1) / 2 = 1681 3 k / 3 - 1 + (3 k - 1) / 2 = 1681 3 \cdot k / 3 - 1 + (3 \cdot k - 1) / 2 = 1681 15 k = 10095 k = 673 K = 3 \cdot k = 3 \cdot 673 = 2019 j_{1} = 2 mm j_{2} = (K - 3) / 2 = (2019 - 3) / 2 = 1008 mm j_{3} = (K - 1) / 2 = (2019 - 1) / 2 = 1009 mm o_{1} = j_{1} + j_{2} + j_{3} = 2 + 1008 + 1009 = 2019 mm d_{1} = K / 3 - 1 = 2019 / 3 - 1 = 672 mm d_{2} = K / 3 = 2019 / 3 = 673 mm d_{3} = K / 3 + 1 = 2019 / 3 + 1 = 674 mm o_{2} = d_{1} + d_{2} + d_{3} = 672 + 673 + 674 = 2019 mm o_{1} = o_{2} = K x_{1} = d_{1} + j_{3} = 672 + 1009 = 1681 K = 2019

Skúsiť iný príklad

Budeme veľmi radi, ak nájdete chybu v príklade, pravopisné chyby alebo nepresnosť a ju nám prosím pošlete. Ďakujeme!

Zobrazujem 1 komentár:

Žiak

ako ste zistili k?

1 rok Like

Tipy na súvisiace online kalkulačky

Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Chcete zaokrúhliť číslo?
Pozrite aj našu trigonometrickú trojuholníkovu kalkulačku.

Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:

Odporúčame k tejto úlohe z matematiky si pozrieť toto výukové video: video1 video2 video3 video4 video5 video6

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

MO Z7–I–3 2019
Roman má rád kúzla a matematiku. Naposledy čaroval s trojcifernými alebo štvorcifernými číslami takto: • z daného čísla vytvoril dve pomocné čísla tak, že ho rozdelil medzi ciframi na mieste stoviek a desiatok (napr. Z čísla 581 by dostal 5 a 81), • pomoc
Z7-I-4 MO 2017
Na stole ležalo šesť kartičiek s ciframi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Anežka z týchto kartičiek zložila šesťciferné číslo, ktoré bolo deliteľné šiestimi. Potom postupne odoberala kartičky sprava. Keď odobrala prvú kartičku, zostalo na stole päťciferné číslo deliteľn
Ivo chce
Ivo chce narysovať všetky trojuholníky, ktorých dve strany majú dĺžku 4cm a 9 cm a aj dĺžka tretej strany je vyjadrená celými centimentrami. Koľko trojuholníkov musí narysovať?
MO Z8 – I – 4 2018
Na štyroch kartičkách boli štyri rôzne cifry, z ktorých jedna bola nula. Vojto z kartičiek zložil čo najväčšie štvorciferné číslo, Martin potom čo najmenšie štvorciferné číslo. Adam zapísal na tabuľu rozdiel Vojtovho a Martinovho čísla. Potom Vojto z kart
Obvod obdĺžnika
Obvod obdĺžnika je 22 cm a obsah 30 cm². Určte jeho rozmery, ak sú dĺžky strán obdĺžnika v centimetroch vyjadrené celými číslami.
C – I – 6 MO 2018
Nájdite všetky trojciferné čísla n s tromi rôznymi nenulovými ciframi, ktoré sú deliteľné súčtom všetkých troch dvojciferných čísel, ktoré dostaneme, keď v pôvodnom čísle vyškrtneme vždy jednu cifru.
C–I–4 MO 2017
Určte najväčšie celé číslo n, pri ktorom možno štvorcovú tabuľku n × n zaplniť prirodzenými číslami od 1 po n² tak, aby v každej jej štvorcovej časti 3 × 3 bola zapísaná aspoň jedna druhá mocnina celého čísla
MO Z6–I–1 - 2017 - Anička
Anička a Blanka si napísali každá jedno dvojciferné číslo, ktoré začínalo sedmičkou. Dievčatá si zvolili rôzne čísla. Potom každá medzi obe cifry vložila nulu, takže im vzniklo trojciferné číslo. Od neho každá odčítala svoje pôvodné dvojciferné číslo. Výs
MO C–I–1 2018
Neznáme číslo je deliteľné práve štyrmi číslami z množiny {6, 15, 20, 21, 70}. Určite, ktorými.
Zostrojte
Zostrojte trojuholník ABC, ak poznáte dĺžky jeho strán c = 5 cm, a = 4 cm a uhol ABC má ve¾kosť 60°. Odmerajte dĺžku strany b v milimetroch. Dĺžka strany b je: a, 75 mm < b < 81 mm b, 53 mm < b < 59 mm c, 43 mm < b < 49 mm d, 13 mm < b < 19 mm
MO Z6–I–3 2018
Na obrázku sú naznačené dva rady šesťuholníkových políčok, ktoré doprava pokračujú bez obmedzenia. Do každého políčka doplňte jedno kladné celé číslo tak, aby súčin čísel v ľubovoľných troch navzájom susediacich políčkach bol 2018. Určte číslo, ktoré bude
Z9–I–1 2018 čísla
Nájdite všetky kladné celé čísla x a y, pre ktoré platí: 1/x + 1/y = 1/4 .
Z6 – I – 6 MO 2019
Majka skúmala viacciferné čísla, v ktorých sa po jednej striedajú nepárne a párne cifry. Tie, ktoré začínajú nepárnou cifrou, nazvala komické a tie, ktoré začínajú párnou cifrou, nazvala veselé. (Napr. Číslo 32387 je komické, číslo 4529 je veselé. ) Medzi
Z6-I-6 MO 2018
V dvanásťuholníku ABCDEFGHIJKL sú každé dve susedné strany navzájom kolmé a všetky strany s výnimkou strán AL a GF sú navzájom zhodné. Strany AL a GF sú oproti ostatným stranám dvojnásobne dlhé. Úsečky BG a EL sa pretínajú v bode M a rozdeľujú dvanásťuhol
Z9–I–1
Vo všetkých deviatich poliach obrazca majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo: • každé z čísel 2, 4, 6 a 8 je použité aspoň raz, • štyri z polí vnútorného štvorca obsahujú súčiny čísel zo susediacich polí vonkajšieho štvorca, • v kruhu je súče
MO Z6-6-1
Do prázdnych polí v nasledujúcom obrázku doplňte celé čísla väčšie ako 1 tak, aby v každom tmavšom políčku bol súčin čísel zo susedných svetlejších políčok: Aké je číslo je v strede?
Richardove čísla Z8-I-2 2019
Richard sa pohrával s dvoma päťcifernými číslami. Každé pozostávalo z navzájom rôznych cifier, ktoré pri jednom boli všetky nepárne a pri druhom všetky párne. Po chvíli zistil, že súčet týchto dvoch čísel začína dvojčíslím 11 a končí číslom 1 a že ich roz