Nepřístupne místa

Určete vzdálenost dvou nepřístupných míst P, Q, pokud vzdálenost dvou pozorovacích míst A, B je 2000m a znáte-li velikost úhlů QAB = 52°40'; PBA = 42°01'; PAB = 86°40' a QBA = 81°15'. Uvažovaná místa A, B, P, Q leží v jedné rovině.

Správná odpověď:

x =  1633,4982 m

Postup správného řešení:

$$\begin{gathered} AB=2000\text{m} \\ QAB=52°40^{\prime }=52°+\frac{40}{60}°=52,6667°\doteq 52,6667 \\ PBA=42°1^{\prime }=42°+\frac{1}{60}°=42,0167°\doteq 42,0167 \\ PAB=86°40^{\prime }=86°+\frac{40}{60}°=86,6667°\doteq 86,6667 \\ QBA=81°15^{\prime }=81°+\frac{15}{60}°=81,25°=81,25 \\ \angle APB=180-\angle PAB-\angle PBA=180-86,6667-42,0167=\frac{3079}{60}\doteq 51,3167{}^{\circ } \\ \angle AQB=180-\angle QBA-\angle QAB=180-81,25-52,6667=\frac{553}{12}\doteq 46,0833{}^{\circ } \\ PA:AB=\sin PBA:\sin APB \\ PA=AB\cdot \frac{\sin PBA}{\sin APB}=AB\cdot \frac{\sin 42,016666666667°}{\sin 51,316666666666°}=2000\cdot \frac{\sin 42,016666666667°}{\sin 51,316666666666°}=2000\cdot \frac{0,669347}{0,780612}=1714,92761\text{m} \\ QB=AB\cdot \frac{\sin QAB}{\sin AQB}=AB\cdot \frac{\sin 52,666666666667°}{\sin 46,083333333333°}=2000\cdot \frac{\sin 52,666666666667°}{\sin 46,083333333333°}=2000\cdot \frac{0,795121}{0,720349}=2207,59765\text{m} \\ PB=AB\cdot \frac{\sin PAB}{\sin APB}=AB\cdot \frac{\sin 86,666666666667°}{\sin 51,316666666666°}=2000\cdot \frac{\sin 86,666666666667°}{\sin 51,316666666666°}=2000\cdot \frac{0,998308}{0,780612}=2557,75683\text{m} \\ QA=AB\cdot \frac{\sin QBA}{\sin AQB}=AB\cdot \frac{\sin 81,25°}{\sin 46,083333333333°}=2000\cdot \frac{\sin 81,25°}{\sin 46,083333333333°}=2000\cdot \frac{0,988362}{0,720349}=2744,11706\text{m} \\ \angle PAQ=\angle PAB-\angle QAB=86,6667-52,6667=34{}^{\circ } \\ \angle PBQ=\angle QBA-\angle PBA=81,25-42,0167=\frac{1177}{30}\doteq 39,2333{}^{\circ } \\ {x}^2=P{A}^2+Q{A}^2-2\cdot PA\cdot QA\cdot \cos PAQ \\ x=\sqrt{P{A}^2+Q{A}^2-2\cdot PA\cdot QA\cdot \cos PAQ}=\sqrt{P{A}^2+Q{A}^2-2\cdot PA\cdot QA\cdot \cos 34°}=\sqrt{1714,9276^2+2744,1171^2-2\cdot 1714,9276\cdot 2744,1171\cdot \cos 34°}=\sqrt{1714,9276^2+2744,1171^2-2\cdot 1714,9276\cdot 2744,1171\cdot 0,829038}=1633,498=1633,4982\text{m} \end{gathered}$$

Zkusit jiný příklad