V Kocúrkove - Z8-I-6 2019 MO
V Kocúrkove používajú mince iba s dvoma hodnotami, ktoré sú vyjadrené v kocúrkovských korunách kladnými celými číslami. Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania. Sumu 53 kocúrkovských korún však bez vydávania zaplatiť nemožno. Zistite, ktoré hodnoty mohli byť na kocúrkovských minciach. Určte aspoň dve riešenia.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 13 komentárov:
Markie
2, 55
3, 28
4, 19
7, 10
ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...
3, 28
4, 19
7, 10
ale musim povedat, ze k tejto ulohe neviem urobit nejaky elegantny postup...
nemam rad ulohy, kde treba skusat...
4 roky 2 Likes
Franta
Frobeniovo číslo
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.
Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.
Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.
Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54
Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10
Problém mincí (označovaný také jako problém frobenské mince nebo Frobeniův problém po matematikovi Ferdinandu Frobeniovi) je matematický problém, který hledá největší peněžní částku, kterou nelze získat pouze pomocí mincí určených nominálních hodnot. Například největší částka, kterou nelze získat pouze pomocí mincí 3 a 5 jednotek, je 7 jednotek.
Řešení tohoto problému pro danou sadu nominálních hodnot mincí se nazývá Frobeniovo číslo.
Frobeniovo číslo existuje, pokud sada nominálních hodnot mincí nemá společný dělitel větší než 1.
Pokud existují pouze dvě různé nominální hodnoty mincí x a y, potom pro Frobeniovo číslo existuje explicitní vzorec: xy − x − y.
Tento vzorec objevil James Joseph Sylvester v roce 1882.
Známe Frobeniovo číslo: 53, a máme určit x a y. Tedy:
xy – x – y = 53
xy – x – y + 1 = 53 + 1
x(y – 1) – (y – 1) = 54
(y – 1)(x – 1) = 54
Možné dvojice:
2 a 27, to je y = 3, x = 28
3 a 18, to je y = 4, x = 19
6 a 9, to je y = 7, x = 10
Slniecko
V texte sa píše:" Pomocou dostatočného množstva takých mincí je možné zaplatiť akúkoľvek celočíselnú sumu väčšiu ako 53 kocúrkovských korún, a to presne a bez vydávania." Ako viete pomocou mincí napr. 3 a 28 zaplatiť sumu 54?
Matematik
3*9+28*1=55
... zasnem ze si ludia aspon elementarne overenie toho co tvrdia nevyskusaju na kalkulacke,,, alebo na internete:
https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/celociselne-diofantove-rovnice?input=3a%2B28b%3D55&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj
Je to ako pravo volit - ma ho kazdy. Ludia volia pocitmi, emociami, cize si zvolia zlych zastupcov... Pripadne takych ktory ich uplatia predvolebnou korupciou (zvysenie dochodkov, 13. dochodok...). Urcite by pravo volit malo byt nejak zmenene, napr. kazdy hlas by mal vahu rocnych dani ktore plati volič štátu. Kto platí málo, jeho hlas bude oslabený. Kto neplatí nič, bude mať nulový hlas.To bu potom do parlamentu neboli populisti vobec zvoleny.
... zasnem ze si ludia aspon elementarne overenie toho co tvrdia nevyskusaju na kalkulacke,,, alebo na internete:
https://www.hackmath.net/sk/kalkulacka/celociselne-diofantove-rovnice?input=3a%2B28b%3D55&submit=Vypo%C4%8D%C3%ADtaj
Je to ako pravo volit - ma ho kazdy. Ludia volia pocitmi, emociami, cize si zvolia zlych zastupcov... Pripadne takych ktory ich uplatia predvolebnou korupciou (zvysenie dochodkov, 13. dochodok...). Urcite by pravo volit malo byt nejak zmenene, napr. kazdy hlas by mal vahu rocnych dani ktore plati volič štátu. Kto platí málo, jeho hlas bude oslabený. Kto neplatí nič, bude mať nulový hlas.To bu potom do parlamentu neboli populisti vobec zvoleny.
Matematik
tak skusme: 54 = 55a+2b
a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0
a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7
cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...
a = 55b+2c
a>53
a<70
b>=0
c>=0
a1=54, b1=0, c1=27
a2=55, b2=1, c2=0
a3=56, b3=0, c3=28
a4=57, b4=1, c4=1
a5=58, b5=0, c5=29
a6=59, b6=1, c6=2
a7=60, b7=0, c7=30
a8=61, b8=1, c8=3
a9=62, b9=0, c9=31
a10=63, b10=1, c10=4
a11=64, b11=0, c11=32
a12=65, b12=1, c12=5
a13=66, b13=0, c13=33
a14=67, b14=1, c14=6
a15=68, b15=0, c15=34
a16=69, b16=1, c16=7
cize bingo... mozno jsme to zbytocne obmedzili ze obe mince musi byt mensi nez nebo rovne 53 ...
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Riešite Diofantovské problémy a hľadáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovníc?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Chcete previesť delenie prirodzených čísel - zistiť podiel a zvyšok?
Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu?
Chcete previesť delenie prirodzených čísel - zistiť podiel a zvyšok?
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
- algebra
- množiny
- rovnica
- celočíselná rovnica
- prvočísla
- prienik množín
- aritmetika
- delenie
- základné funkcie
- úvaha
- čísla
- prirodzené čísla
Jednotky fyzikálnych veličín:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- V ubytovni
V turistickej ubytovni spalo 44 žiakov v ôsmich izbách, niektoré boli štvorlôžkové, iné šiestich lôžkové, Koľko štvorlôžkových a kolík šiestich lôžkových izieb bolo v ubytovni, keď dve lôžka boli prázdne? - Puk - hokej
Hokejový brankár dostal za zápas 6 gólov. Úspešnosť jeho zákrokov bola 80%. Koľko striel chytil za zápas? - Zrýchlenie 9
Zrýchlenie hmotného bodu pri jeho priamočiarom pohybe rovnomerne klesá zo začiatočnej hodnoty a0 = 10 m/s² v čase t0 = 0 na nulovú hodnotu počas 20 s. Aká je rýchlosť hmotného bodu v čase t1 = 20 s a akú dráhu za ten čas hmotný bod prešiel, keď v čase t0 - Hrušiek 83295
Cena 6 kg hrušiek je o 77 Kč vyššia ako cena 5 kg jabĺk. Cena 6 kg jabĺk je rovnaká ako cena 5 kg hrušiek. Koľko stojí 2 kg jabĺk?
- Cukríky
Jana a Klára si rozdelili cukríky v pomere 15 : 18. Klára dostala 90 cukríkov. Koľko bolo všetkých cukríkov? - Jarka 3
Jarka a Janka sa rozhodli vymaľovať si spoločnú izbu. Ak by ju maľovala Jarka sama, trvalo by jej to 4 hodiny. Janke by to trvalo 3 hodiny. Koľko by im trvalo vymaľovanie izby, ak by maľovali spolu? - Nový hráč
V družstve je 12 hráčov s priemernou výškou 185cm. Aká je výška nového hráča, ak sa po jeho príchode do družstva priemerná výška zvýšila o 1cm? - Anna malá
Anna mala 3 krát viac ako Beátka. Cilka mala o 2 eura viac ako Beátka. Spolu mali 52 eur. Koľko mala každá? - Zamestnanci 4
V sklade pracuje 21 zamestnancov - robotníkov a administratívnych pracovníkov. Pri úprave miezd znížili dennú odmenu každého administratívneho pracovníka o 3 € a dennú odmenu každého robotníka zvýšili o 2 €, takže celková denná mzda vzrástla o 17 €. Vypoč
- Tulipánov 83181
Kyticu tvorí 13 narcisov, 8 tulipánov a ďalších 30% sú frézie, koľko kvetov je v kytici celkom? - Ak zmenšíme 3
Ak zmenšíme dĺžku obdĺžnika o 2cm a šírku o 1cm, tak sa obsah obdĺžnika zmenší o 8 cm². Ak zväčšíme dĺžku obdĺžnika o 1cm a šírku o 2cm, tak sa obsah obdĺžnika zväčší o 13 cm². Aké boli pôvodné rozmery obdĺžnika? - Učeň dostal
Učeň dostal od majstra za úlohu rozdeliť elektrický kábel dĺžky 28m na dve časti tak, aby druhá časť bola 2,5 krát väčšia ako prvá časť. Ake dlhé mali byť časti kábla? - Ťažnice v PT
V pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C sú dané veľkosti ťažníc ta=5, tb=2√10. Vypočítajte veľkosti strán trojuholníka ABC a polomer kružnice opísanej tomuto trojuholníku. - Jednotky, dvojky, trojky
V triede je 30 žiakov. Piati mali známku trojku. Ostatní dvojky a jednotky. Priemer známok bol 1,9. Koľko žiakov malo jednotku?
- Basketball
V basketbalovej hre hodili hráči spolu 37 krát z toho boli za 2 body aj za 3 body spolu mali 82 bodov. Koľko bolo 2 bodových a koľko 3 bodových? - Pokladník 4
Pokladník Samuel mal v pokladni spolu 20 ks bankoviek v celkovej hodnote 850 eur. Boli to iba 50 eurové a 20 eurové bankovky. Koľko kusov mal z každej bankovky? - Test 22
Irena řeší test. Během prvního čtení vyřešila tři čtvrtiny všech otázek, při kontrole pak ještě další šestinu. Dohromady tak vyřešila 22 otázek. Z kolika otázek se skládá celý test?