Bonbóny MO Z6-I-5 2017
V plechovce byly červené a zelené bonbóny. Čeněk snědl 2/5 všech červených bonbónů a Zuzka snědla 3/5 všech zelených bonbónů. Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónů v plechovce.
Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?
Kolik nejméně bonbónů mohlo být původně v plechovce?
Správná odpověď:
Zobrazuji 21 komentářů:
Dr Math
Tomas pise - Tak za prvé:
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)
A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.
---------------------------------------------
Správné řešení:
Ad 1:
Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
S touto premisou ad 2:
Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.
Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.
(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)
Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.
řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)
Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.
Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15
--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====
A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)
Zadání není jednoznačné. (komentar hackmath - zadani MO sorry nad tim zadanim sedeli jine kapacity nez my laici:)
A za druhé:
Výsledek 35 je špatně. Správně je 40.
---------------------------------------------
Správné řešení:
Ad 1:
Třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbónù v plechovce" je neúplná, protože vede ke dvěma možným závěrùm. Buď myšleno jako "ze všech bonbónù, které nyní v plechovce zbyly (po odebrání)" nebo "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
Obě možnosti jsou spočítatelné, ale vedou k rozdílnému výsledku. Pokud se dobře pamatuji na správné zadání, myšleno je "ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
S touto premisou ad 2:
Výsledek 35 je špatně už jen proto, že není beze zbytku dělitelný 8. Připomeňme si větu: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly". Tento předpoklad splňují pouze čísla 8, 16, 24, 32.
Počet červených bonbónù --> x (číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Počet zelených bonbónù --> y (opět číslo neznáme, ale víme, že je dělitelné 5 beze zbytku)
Máme rovnici:
z = x + y
kde "z" je nějaké nejmenší celé číslo (počet všech bonbónù pùvodně v plechovce), na které máme dojít, ale zároveň víme, že je dělitelné 8 beze zbytku.
(Vsuvka: už zde je patrné, že řešením mùže být jedině číslo z řady 40, 80, 120, 160. Pokud jsou čísla "x" a "y" dělitelná beze zbytku 5 a zároveň jejich součet je beze zbytku dělitelný 8, tak jejich součet musí být dělitelný jak 5, tak 8 beze zbytku. A tomu odpovídají pouze čísla z uvedené řady.)
Dále máme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
která nám vyjadřuje větu "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 ze všech bonbónù, které (před odebráním) v plechovce pùvodně byly".
3/5 x --> znamená počet červených bonbónù zbylých v plechovce po odebrání 2/5 červených bonbónù.
3/8 (x + y) --> znamená 3/8 všech bonbónù v plechovce, které tam pùvodně byly.
řešme rovnici:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 x = 3/8 x + 3/8 y
24 x = 15 x + 15 y
9 x = 15 y
3 x = 5 y
=======
(x = 5/3 y)
Víme, že "x" a "y" je dělitelné 5 beze zbytku, takže to mohou být pouze čísla 5, 10, 15. tím z předchozí rovnice odvodíme:
Pokud je y = 5 --> pak x = 8,3333. (špatně)
Pokud je y = 10 --> pak x = 16,6666. (špatně)
Pokud je y = 15 --> pak x = 25 (sedí) --> obě čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku.
Takže počet červených bonbónù je:
x = 25
a počet zelených bonbónù je:
y = 15
--------------------------------------
Zkouška:
3/5 x = 3/8 (x + y)
3/5 * 25 = 3/8 (25+15)
3/5 * 25 = 3/8 *40
3 * (25/5) = 3 * (40/8)
3 * 5 = 3 * 5
15 = 15
======
A to je správně.
Takže námi hledané číslo je:
z = x + y
z = 25 + 15
z = 40
=====
A je zároveň nejmenší možné, protože pokud bude "y" 5 nebo 10 (což jsou, jak jsme si ukázali, jediné možné menší alternativy) tak "x" bude necelé číslo, a navíc nebude dělitelné 5. (Nebo jinak: 40 je nejmenší možná alternativa z možné řady výsledkù 40, 80, 120.)
Dr Math
Tomas poslal linku na jeho zpusob reseni:) nicmene
pri cervenych c=10 a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...
Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?
pri cervenych c=10 a zelenych z=25 . Dokopy cili 35. Kdybys spravil zkousku spravnosti j(poslednich 5 radku reseni) ako my, zjistil bys ze snedl 4 cervene a ostalo 6 cervenych a 15 zelenych a ostalo 10 zelenych. cize ostalo 6/(6+10) = 6 / 16 = 3/8 vsech bonbonu...
Tak jak mohlo vyjst 40 bonbonu a ne 35 :D ?!?
6 let 1 Like
Dr Math
Repost od Tomas:
Ahoj jeste jednou.
Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:
---
Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.
Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)
Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)
Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."
Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.
Ahoj jeste jednou.
Tak jsem se na to kukl, a dosel jsem na to, proc se rozchazime:
---
Jak jsem psal, pocital jsem dale s premisou "ze vsech bonbonu, ktere (pred odebranim) v plechovce puvodne byly". S timto zakladem vychazi celkovy pocet 40.
Ted jsem si to prosel poradne a zjistil jsem, ze ty jsi pocital s druhou premisou, a to: "ze vsech bonbonu, ktere nyni v plechovce zbyly (po odebrani)", kde skutecne vysledek vyjde 35. (Taky jsem avizoval, že to vede k rozdilnym vysledkum, ale blbec jsem si nespocital tu druhou moznost :D coz je moje chyba.)
Pouzita rovnice by tedy byla:
3/5 x = 3/8 (3/5 x + 2/5 y) --- pocet cervenych bonbonu, ktere zustaly = 3/8 zbytku (zustatek cervenych + zustatek zelenych)
Nicmene z toho plyne krasne ponauceni (a to nemyslim na tebe Dr Math): "Jednoznaènost zadani vede k jednoznacnemu vysledku."
Great challenge, po dlouhe dobe jsem si pekne zapocital. Moc dik.
6 let 1 Like
@user
Výsledek je 40. Z toho důvodu , ze 40 je nejnizsi možné číslo, které lze rozdělit jak na pětiny tak i osminy (aby bylo výsledkem cele číslo ( rozuměj cely bonbon))
6 let 1 Like
Dr Math
Tym lidem co stale tu pisu o 40 jako o řešení třeba jen vzkázat že ať si přečte zadani jeste jednou, otestujuci ci 35 je správní řešení a nebe 40 je spravne reseni ... 35 je dělitelné 5. Proc by proboha melo byt dělitele 8? dělitelné 8 ma byt novy stav bonbonu 16 a ta je dělitelná 8 (a nemusi byt 5).
Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...
Odteď smažu kazdy nesmysel o 40: D Zadání je jednoznačné, Tomas se mýlil hned v prvni úvahu ... když napsal "Zadání není jednoznačné" .... a třetí věta: "Teď tvoří červené bonbóny 3/8 všech bonbonu v plechovce" je přece to ze zůstalo 6 červených z 16 celkových bonbonu ... Tam se nepočítej ti snědené ... ti jsou v břiše ne v plechovce...
6 let 1 Like
Žák
Dobrý den. Jsem student 5 ročníku a koukal jsem se i na težší úlohy. Jen bych se chtěl zeptat jak zjistím, že červených je 10 a zelených 25? Vím, že je to možná hloupá otázka a vy budete nade mnou kroutit halvou, ale byl bych rád kdybyste mi někdo ukázal postup jak dostat ta čísla.
Tipy na související online kalkulačky
Chceš si vypočítat nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku.
Řešíte Diofantovské problémy a hledáte kalkulačku diofantovských celočíselných rovnic?
Máte lineární rovnici nebo soustavu rovnic a hledáte její řešení? Nebo máte kvadratickou rovnici?
K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:
Související a podobné příklady:
- Máte vytvořit
Máte vytvořit co největší stejné bonboniery z celkového počtu 280 oriskovych, 252 nugatovych a 420 marcipanovych bonbónů. Přitom vám nesmí žádný bonbon zbýt ani chybět. Jaké bude mít jedna bonboniera složení a kolik jich z daného množství bonbónů připraví - Nový náklaďák
Nový náklaďák vykoná jednu cestu s pískem za 18 minut a starší nákladní auto potřebuje na jednu jízdu o jednu třetinu delší čas. Oba dva ráno vyjedou současně. Za jak dlouho se znovu sejdou a kolikrát se potkají za osmihodinovou směnu? - Fanklub
Fanklub má 275 členů. Na zápas jeli někteří členové vlakem. Urči kolik členů jelo, když mohli obsadit vagóny buď po 60 nebo po 80 místech. - Tomáš 4
Tomáš sbírá kartičky NHL. Zjisti, že pokud sí jé rozdělí do skupin po třech, čtyřech, pěti nebo šesti, nikdy mu žádná kartička nezbude. Urči, kolik ma Tomáš hokejových kartiček, jeslí že jejích počet je trojciferny a začíná číslem 2,
- Ořechy - dělení
Kolik ořechů bychom museli nejméně mít, abychom mohli podělit ořechy stejným dílem 10 nebo 18 dětí? - Pan Špaček
Pan Špaček chová ptáky. Má jich více než 50 a méně než 100. Andulky tvoří devítinu a kanáři čtvrtinu celkového počtu. Kolik ptáků choval? - Tři vojáci
Tři vojáci mají společnou ostrahu v kasárnách. První strážný vykoná svoji pochůzku za 8 minut, druhý ujde svůj okruh za 10 minut a třetí voják za 12 minut. Za jak dlouho se opět všichni tři potkají, když na začátku vyjdou ze stejného místa? - V přírodní
V přírodní rezervaci na Islandu je gejzír a sopka. Gejzír vytryskne pravidelně každých 18 dní, ze sopky stoupají oblaka dýmu každých 40 dní. kolikrát v průběhu 9000 dní nastane situace, kdy můžeme oba tyto přírodní úkazy pozorovat v jeden den? - V hodině
V hodině tělesné výchovy žáci nastupovali do dvojstupů, trojstupů, čtyřstupů, šestistupů a osmistupů, vždy však zbýval jeden žák. Kolik žáků cvičilo, bylo-li jich více než 40 a méně než 50?
- Dva parníky
Dva parníky vyrazili na plavbu ze stejného přístavu první parník se do přístavu vrací každý čtvrtý den a druhý parník se vrací každý pátý den kolikátý den se opět potkají? - Marie-Pier
Marie-Pier, Frédéric a Simon do sebe v úterý narazí na ulici, zatímco všichni tři běží. Marie-Pier trénuje každé 3 dny, Frédéric každé 4 dny a Simon každé úterý. Pokud všichni udrží krok se svým tréninkovým tempem, za kolik dní mohou všichni doufat, že se - Chystáme
Chystáme taneční vystoupení na školní akademii. Kolik žákyň se ho musí účastnit, když chceme, aby se při vystoupení mohly rozdělit na skupiny po čtyřech, po šesti i po dvanácti? - Při rozdělování
Při rozdělování mandarinek do balíčků po 8 nebo 10 vždy 1 zůstala. Kolik jich bylo, pokud jich bylo více než 250 a méně než 300? - Rozdělit 55831
V košíku jsou položeny třešně. Kolik nejméně jich tam je, pokud je můžeme stejným dílem rozdělit mezi 3, 4 nebo 5 dětí.
- Všichni 2
Všichni atleti atletického oddílu Z Ostravy mohou nastoupit do čtyřstupu, pětistupu, seštistupu i sedmistupu a nikdo nebude přebývat. Kolik je průměrné atletů v jedné atletické skupině, je-li v oddíle celkem dvanact skupin? Uvažuj ze všech možných ten nej - Tonda
Tonda, Emil a Patrik chodí pravidelně do posilovny. Tonda navštěvuje posilovnu každý třetí den, Emil každý pátý den a Patrik každý devátý den. Jak často se v posilovně sejdou všichni? - Lano lze
Lano lze rozřezat na stejnou délku, aniž vám zůstalo lano. Délka může být 15cm, 18cm nebo 25cm. Jaká je nejkratší možná délka lana?