Mo - kružnice
Juro zostrojil štvorec ABCD so stranou 12 cm. Do tohto štvorca narysoval štvrťkružnicu k, ktorá mala stred v bode B a prechádzala bodom A, a polkružnicu l, ktorá mala stred v strede strany BC a prechádzala bodom B. Rád by ešte zostrojil kružnicu, ktorá by ležala vnútri štvorca a dotýkala sa štvrťkružnice k, polkružnice l aj strany AB. Určte polomer takej kružnice.
Správna odpoveď:
Zobrazujem 3 komentáre:
Mo-radce
Nápoveda. Premýšľajte, ako by ste pomocou polomeru hľadané kružnice vyjadrili vzdialenosť jej stredu od úsečky AB, príp. BC.
Možné riešenie. Počas riešenia sa odkazujeme na obrázok, v ktorom O značí stred strany BC, S značí stred Jurkovej vytúženej kružnice h, K značí dotykový bod kružníc h a k, L značí dotykový bod kružníc hala M značí dotykový bod kružnice ha úsečky AB. Ďalej budeme odkazovať na pomocný bod E, ktorý je pätou kolmice z bodu S na stranu BC. Hľadaný polomer kružnice h v cm označíme r.
Vzdialenosť bodu S od úsečky AB je rovná r = |SM| = |EB|. Vzdialenosť bodu S od úsečky BC je rovná veľkosti úsečky SA, ktorá je odvesnou ako v pravouhlom trojuholníku SEO, tak v trojuholníku SEB. Všetky ostatné strany v oboch trojuholníkoch ľahko vyjadríme pomocou r; odtiaľ pomocou Pytagorovej vety budeme vedieť určiť neznámu r.
Body S a O sú stredy kružníc h a l, ktoré sa dotýkajú v bode L. Tieto tri body ležia na jednej priamke, vzdialenosť SO je preto rovná.
|SO| = |SL| + |LO| = R + 6
Obdobne, vzdialenosť SB je rovná
|SB| = |BK | - |KS| = 12 - r
pretože S a O sú stredy kružníc haka K je ich dotykovým bodom. Vzdialenosť OE je rovná:
|OE| = |OB| - |BE| = 6 - r
Odtiaľ az Pytagorovej vety v trojuholníkoch SEO a SEB dostávame:
|SE|² = |SO|² - |OE|² = |SB|² - |BE|²
(6 + r)² - (6 - r)² = (12 - r)² - r²
12r + 12r = 144 - 24r,
48r = 144,
r = 3.
Polomer hľadanej kružnice je 3 cm
Možné riešenie. Počas riešenia sa odkazujeme na obrázok, v ktorom O značí stred strany BC, S značí stred Jurkovej vytúženej kružnice h, K značí dotykový bod kružníc h a k, L značí dotykový bod kružníc hala M značí dotykový bod kružnice ha úsečky AB. Ďalej budeme odkazovať na pomocný bod E, ktorý je pätou kolmice z bodu S na stranu BC. Hľadaný polomer kružnice h v cm označíme r.
Vzdialenosť bodu S od úsečky AB je rovná r = |SM| = |EB|. Vzdialenosť bodu S od úsečky BC je rovná veľkosti úsečky SA, ktorá je odvesnou ako v pravouhlom trojuholníku SEO, tak v trojuholníku SEB. Všetky ostatné strany v oboch trojuholníkoch ľahko vyjadríme pomocou r; odtiaľ pomocou Pytagorovej vety budeme vedieť určiť neznámu r.
Body S a O sú stredy kružníc h a l, ktoré sa dotýkajú v bode L. Tieto tri body ležia na jednej priamke, vzdialenosť SO je preto rovná.
|SO| = |SL| + |LO| = R + 6
Obdobne, vzdialenosť SB je rovná
|SB| = |BK | - |KS| = 12 - r
pretože S a O sú stredy kružníc haka K je ich dotykovým bodom. Vzdialenosť OE je rovná:
|OE| = |OB| - |BE| = 6 - r
Odtiaľ az Pytagorovej vety v trojuholníkoch SEO a SEB dostávame:
|SE|² = |SO|² - |OE|² = |SB|² - |BE|²
(6 + r)² - (6 - r)² = (12 - r)² - r²
12r + 12r = 144 - 24r,
48r = 144,
r = 3.
Polomer hľadanej kružnice je 3 cm
Tipy na súvisiace online kalkulačky
Pytagorova veta je základ výpočtov aj kalkulačky pravouhlého trojuholníka.
Na vyriešenie tejto úlohy sú potrebné tieto znalosti z matematiky:
Téma:
Úroveň náročnosti úlohy:
Súvisiace a podobné príklady:
- Vypočítajte 81600
Polomer kruhového záhonu je 2 m. Okolo neho je plocha vysypaná pieskom, ktorej hranicu tvoria strany štvorca s dĺžkou 5 m a obvod záhonu. Vypočítajte obsah plochy vysypanej pieskom. - Kužeľ vs ihlan
Kužeľ má priemer x cm a výšku sklonu y cm. Štvorcový ihlan má dĺžku strany základne x cm a výšku sklonu y cm. Ktorý má väčší povrch telesa? Vysvetlite. - Gotický
Gotický štvorlístok je ornament, v ktorom sú do väčšej kružnice vpísané štyri rovnaké dotýkajúce sa menšie kružnice, ako vidíte na obrázku. Polomer veľkej kružnice je jeden meter. Vypočítajte v metroch polomer menšej kružnice. - Maximálnym 67494
Zo štvorcovej dosky o strane a=85cm bol vyrobený kruh s maximálnym obsahom. Koľko percent dosky tvorí odpad?
- Do štvorca
Do štvorca so stranou 12 cm je vpísaný kruh tak, že sa dotýka všetkých jeho strán. Vypočítajte rozdiel obsahov štvorca a kruhu. - Ornament
Ornament je zložený z jedného štvorca a štyroch tmavých polkruhov. Obsah štvorca je 4 cm². Vypočítajte v cm² obsah jedného tmavého polkruhu a výsledok zaokrúhlite na stotiny. - K MDŽ
Srdce mamičkám k MDŽ ľahko vyrobíme tak, že ku dvom horným stranám štvorca stojacom na svojom vrchole přikreslíme dva polkruhy. Aký polomer bude mať kružnica opísaná tomuto srdcu, keď dĺžka strany štvorca je rovná 1? - Možno
Možno z kmeňa s priemerom 42 cm vyrezať trám so štvorcovým prierezom so stranou dĺžky 30 cm? Odpoveď zapíš spôsobom: áno, lebo. .. . . nie, lebo. .. - Zo železnej
Zo železnej tyče v tvare hranola s rozmermi 5,6 cm 4,8 cm, 7,2 cm je potrebné vyrobiť čo najväčšiu kužeľ. a) Vypočítajte jeho objem. b) Vypočítajte odpad.
- Štvorcu
Štvorcu so stranou 8 cm je opísaná kružnica. Vypočítaj obsah zostávajúcej časti kruhu, ak štvorec vystrihneme. - Ivan a
Ivan a Katka objavili na dovolenke pravidelný ihlan, ktorého podstavou bol štvorec so stranou 230 m a ktorého výška bola rovná polomeru kruhu s rovnakým obsahom ako podstavný štvorec. Katka označila vrcholy štvorca ABCD. Ivan vyznačil na priamke spájajúce - Vypočítajte 36661
Vypočítajte dĺžku kružnice, ktorá je opísaná štvorcami so stranou dĺžky 3 cm - Zo štvorcovej
Zo štvorcovej látky 150x150 cm sme vystrihli najväčší možný kruhový obrus. Po prestretí prevísal všade dookola 20 cm. Akú plochu má kruhová doska stola? - Štvorec a kružnica
Je daný štvorec a kružnica, ktorá prechádza dvoma susednými vrcholmi štvorca (krajnými bodmi strany a) a stredom protiľahlej strany (c). Ktorý z útvarov má väčší obvod?
- Vpísaný štvorec
Je daná kružnica, do ktorej je vpísaný štvorec. Menší štvorec je vpísaný do kruhovej úseče tvorenej stranou štvorca a oblúkom danej kružnice. Aký je pomer plôch veľkého a malého štvorca? - Pravouhlá
Pravouhlá mriežka pozostáva z dvoch navzájom kolmých sústav rovnobežných priamok s rozostupom 2. Na túto rovinu hodíme kruh s priemerom 1. Vypočítajte pravdepodobnosť, že tento kruh: a) prekryje niektorú z priamok; b) prekryje niektorý z priesečníkov pria - Štvorec ABCD
Je daný štvorec ABCD s dĺžkou strany 100 mm. Vypočítaj polomer kružnice, ktorá prechádza vrcholmi B, C a stredom strany AD.