Z9 – I – 2 MO 2018

V rovnostranném trojúhelníku ABC je K středem strany AB, bod L leží v třetině strany BC blíže bodu C a bod M leží v třetině strany AC blíže bodu A. Určete, jakou část obsahu trojúhelníku ABC zabírá trojúhelník KLM.

Výsledek

x =  0.278

Řešení:

a=1 h=a2−(a/2)2=12−(1/2)2≐0.866  S=a⋅ h2=1⋅ 0.8662≐0.433  S1=h3⋅ a22=0.8663⋅ 122≐0.0722 S2=2⋅ h3⋅ a22=2⋅ 0.8663⋅ 122≐0.1443 S3=h3⋅ 2⋅ a32=0.8663⋅ 2⋅ 132≐0.0962  S4=S−(S1+S2+S3)=0.433−(0.0722+0.1443+0.0962)≐0.1203  x=S4S=0.12030.433=518≐0.2778=0.278a = 1 \ \\ h = \sqrt{ a^2 - (a/2)^2 } = \sqrt{ 1^2 - (1/2)^2 } \doteq 0.866 \ \\ \ \\ S = \dfrac{ a \cdot \ h }{ 2 } = \dfrac{ 1 \cdot \ 0.866 }{ 2 } \doteq 0.433 \ \\ \ \\ S_{ 1 } = \dfrac{ \dfrac{ h }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ a }{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 0.866 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 1 }{ 2 } }{ 2 } \doteq 0.0722 \ \\ S_{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 2 \cdot \ h }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ a }{ 2 } }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 2 \cdot \ 0.866 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 1 }{ 2 } }{ 2 } \doteq 0.1443 \ \\ S_{ 3 } = \dfrac{ \dfrac{ h }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 2 \cdot \ a }{ 3 } }{ 2 } = \dfrac{ \dfrac{ 0.866 }{ 3 } \cdot \ \dfrac{ 2 \cdot \ 1 }{ 3 } }{ 2 } \doteq 0.0962 \ \\ \ \\ S_{ 4 } = S - (S_{ 1 }+S_{ 2 }+S_{ 3 }) = 0.433 - (0.0722+0.1443+0.0962) \doteq 0.1203 \ \\ \ \\ x = \dfrac{ S_{ 4 } }{ S } = \dfrac{ 0.1203 }{ 0.433 } = \dfrac{ 5 }{ 18 } \doteq 0.2778 = 0.278

Zkusit jiný příklad


Naše příklady z velké míry nám poslali nebo vytvořili samotní žáci a studenti. Proto budeme velmi rádi, pokud případně chyby které jste našli, pravopisné chyby nebo přeformulování příkladu nám prosím pošlete. Děkujeme!





Napište nám komentář ke příkladu (úlohe) a jeho řešení (například pokud je stále něco nejasné nebo máte jiné řešení, nebo příklad nevíte vypočítat, nebo-li řešení je nesprávné...):

Zobrazuji 13 komentářů:
#
Ne
Co znamená neznámá h?

#
Dr Math
h = height = vyska trojuhelnika

#
Žák
Mohl by to někdo popsat slovy?

#
Žák
Proč h/3 ?

#
Dr Math
ten trojuhelnik ma tretinovu vysku.... proto h/3

1 rok  1 Like
#
Žák
Nemá to být obecně, nebo těch 0,278 je, že zabírá tuto část?
Jakože kdyby byla odpoved 0,5 tak by to znamenalo že zabíra polovinu?

#
Dr Math
jasne ze se to da obecne... jenomze s cislami se lepe pracuje... Da se dokazat ze tenhle priklad je invariantni ke delce "a", a proto jsme si zvolili a=1 a zjenodusili jsi zivot.... ve vyraze x=S4/S by se a2 vykratilo s a2 ... Je to aj nejaky princip analogie...

#
Žák
A není otázka jakou část zabírá, proto by měla být odpoved například v procentech?

#
Žák
A jak vím, že ta výška je třetinová??

#
Dr Math
Je jedno ci odpoved napisem 5/18 nebo 27,8%.... Ta tretina patrne vyplyva ze "bod L leží v třetině strany" tak je tam nejaka podobnost...

#
Zak
muzu se zeptat co je S1,2,3 a4? jaka cast trojuhelniku

#
Zak
a proc se x=S4/S?

#
Pepa
Je možnost že to můžeme vyřešit jako: troj. AKM 1/3*1/2=1/6
udělat to u všech a sečíst

1 rok  1 Like
avatar









K vyřešení této úlohy jsou potřebné tyto znalosti z matematiky:

Potřebujete pomoci sčítat, zkrátít či vynásobit zlomky? Zkuste naši zlomkovou kalkulačku. Pythagorova věta je základ výpočtů kalkulačky pravouhlého trojuholníka. Vyzkoušejte také naši trigonometrickou trojúhelníkovou kalkulačku.

Další podobné příklady a úkoly:

  1. Hercules bojuje
    hydra_1 Hercules bojuje s Hydrou, která má 2018 hlav. V každém kole lze useknout maximálně tři hlavy. Pokud odřízne jednu hlavu, okamžitě doroste zpět. Pokud odřízne dvě hlavy, naroste devět hlav. Jsou-li tři hlavy odříznuty, další vývoj závisí na tom, zda zbývaj
  2. Tulipány
    tulipany Dobrákovi pěstovali tulipány na čtvercovém záhonku o straně 6 metrů. Později přistavěli k svému domku čtvercovou terasu se stranou 7 metrů. Jeden vrchol terasy ležel přesně uprostřed tulipánového záhonu a jedna strana terasy dělila stranu tulipánového záh
  3. Obdélníky
    rectangles2_2 Vystřihl jsem si dva obdélníky s obsahy 54 cm², 90 cm². Jejich strany jsou vyjádřené celými čísly v centimetrech. Pokud tyto obdélníky přiložím k sobě, dostanu obdélník s obsahem 144 cm². Jaké rozměry může mít tento velký obdélník? Napiš všechny možnosti.
  4. Zkratka
    direct_route Představte si, že jdete ke kamarádovi po rovné cestě. Ta cesta má délku 220 metrů. Potom zahnete doprava a půjdete dalších 1950 metrů a jste u kamaráda. Otázka zní, o kolik bude kratší cesta, když půjdete přímou cestou přes pole?
  5. Lyžařské soustředění
    compass4 Na lyžařské soustředění přijeli 4 kamarádi ze 4 světových stran a vedli následující rozhovor. Karel: ,, Nepřijel jsem ze severu ani z jihu" Mojmír: ,, Zato já jsem přijel z jihu. " Pepa: ,, přijel jsem ze severu. " Zdena: ,, Já z jihu nepřijel. " Víme
  6. Jazykolam
    numbs_10 Jazykolam. Písmena nahraď číslicemi, aby vyšel správný součet: SKRZ KRK STRČ ______ PRST Koľko má úloha riešení?
  7. Davidovo číslo
    numbers2_4 Jana a David trénují sčítání desetinných čísel tak, ze každý z nich napíše jedno číslo, a tato dvě čísla pak sečtou. Posledni příklad jim vyšel 11,11. Davidovo číslo mělo před desetinnou čárkou stejný počet číslic jako za ní, Janino číslo také. Davidovo č
  8. Jízdní kola
    cyclist_11 Jsi majitel dopravního hřiště. Kup jízdní kola dvou barev libovolného počtu, ale musíš utratit přesně 120000Kč. Modré kolo stojí 3600Kč a červené kolo stojí 3200Kč.
  9. Nádoby
    nadoby Máme nádobu o obsahu 7litru,5litru a 2litry. Největší nádoba je naplněná tekutinou, ostatní jsou prázdné. Dokážeš pouze přeléváním získat 5litru a dvakrát po jednom litru tekutiny? Na kolik přelití to jde?
  10. Z8–I–1 2017 Číslo milion
    million Vyjádřete číslo milion (1000000) pomocí čísel obsahujících pouze číslice 9 a algebraických operací plus, minus, krát, děleno, mocnina a odmocnina. Určete alespoň tři různá řešení.
  11. Hodinář
    clock-night-schr Starý hodinář má ve své sbírce zvláštní digitální budík, který zvoní vždy, když součet cifer, který budík ukazuje, se rovná číslu 21. Zjisti, ve kterých časech bude budík zvonit. Jaký je jejich počet? Vypiš všechny možnosti ...
  12. Oco a ivo
    reading Řešte rovnici (algebraogram): oco + ivo = cita Kolik má úloha řešení?
  13. Korunky
    mince_4 Eva měla 7 mincí. Koruny, dvoukoruny a pětikoruny. Od každé nejméně dvě. Kolik jich měla kterých, jestliže si mohla koupit 3 balíčky žvýkaček po 6 korunách?
  14. Narozeniny K
    ohnostroj Na oslavy králových narozenin utratili ohňostrojci 1/5 všech zakoupených raket. Na oslavě královniných narozenin vystříleli 1/6 zbývajících raket a na oslavu následnikových narozenin zůstalo 15 000 raket. Kolik raket nakoupili ohňostrojci?
  15. Před třemi
    age_2 Před třemi lety trojčata Pavel, Petr a Lukáš a jejich o 5 let starší sestra Jana měli dohromady 25 let. Kolik let má Jana dnes?
  16. Zvláštní hodinky
    clocks2_20 Fero si na bleším trhu koupil zvláštní hodinky. Mají jen jednu ručičku (minutovou) a číselník, na kterém se zobrazuje, jaký úhel by právě svírala hodinová a minutová ručička. Kolik bylo hodin, kdy se na jeho hodinkách objevilo to, co vidíš na obrázku - mi
  17. Dvě autíčka
    two_cars_1 Na kruhové dráze jezdila v sousedníh dráhách dvě autíčka. První ve vnitřní dráze, druhé ve vnější. Obě autíčka startovala současně z jedné startovní čáry a jezdila stejným směrem. První ujelo každá 4 kola za stejnou dobu, za kterou ujelo druhé autíčko 3 k