Guľa v kuželi

Guľi o polomere 3 cm opíšte kužeľ minimálneho objemu. Určte jeho rozmery.

Výsledok

r =  4.24 cm
h =  12 cm

Riešenie:

tanϕ=r/h tanϕ/2=3/r  V=13Sh=13πr2h V=13r3tanϕ V=13(r/tanϕ2)3tanϕ  V=9πtan3ϕ2(1cos2ϕ32tanϕtan1(ϕ/2)1cos2(ϕ/2)) V=0  cos2(ϕ/2)32tanϕtan1(ϕ/2)cos2ϕ=0 cos(ϕ/2)sin(ϕ/2)32cosϕsinϕ=0  12sinϕ32cosϕsinϕ=0 13cosϕ=0  ϕ=arccos13=1.2309594173=703144"  r=3/tan(703144"/2)=4.24  cm \tan \phi = r/h \ \\ \tan \phi/2 = 3/r \ \\ \ \\ V = \dfrac13 Sh = \dfrac13 \pi r^2h \ \\ V = \dfrac13 r^3 \tan \phi \ \\ V = \dfrac13 (r/\tan \dfrac{\phi}{2} )^3 \tan \phi \ \\ \ \\ V' = 9\pi \tan^{-3}\dfrac{\phi}{2}(\dfrac{1}{\cos^2 \phi} - \dfrac32 \tan \phi \tan^{-1}(\phi/2) \dfrac{1}{\cos^2 (\phi/2)} ) \ \\ V' = 0 \ \\ \ \\ \cos^2( \phi/2 ) - \dfrac32 \tan \phi \tan^{-1}(\phi/2) \cos^2 \phi = 0 \ \\ \cos ( \phi/2 ) \cdot \sin ( \phi/2 ) - \dfrac32 \cos \phi \sin \phi = 0 \ \\ \ \\ \dfrac12 \sin \phi - \dfrac32 \cos \phi \sin \phi = 0 \ \\ 1-3 \cos \phi = 0 \ \\ \ \\ \phi = \arccos \dfrac13 = 1.2309594173 = 70^\circ 31'44" \ \\ \ \\ r = 3/\tan(70^\circ 31'44"/2) = 4.24 \ \text { cm }
h=rtan703144"=12  cm h = r \tan 70^\circ 31'44" = 12 \ \text { cm }



Naše príklady z veľkej miery nám poslali alebo vytvorili samotní žiaci a študenti. Preto budeme veľmi radi, ak prípadne chyby ktoré ste našli, pravopisné chyby alebo preštylizovanie príkladu nám prosím pošlete. Ďakujeme!





Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 0 komentárov:
1st comment
Buďte prvý, kto napíše komentár!
avatar




Máte lineárnu rovnicu alebo sústavu rovníc a hľadáte jej riešenie? Alebo máte kvadratickú rovnicu? Tip: premeniť jednotky objemu vám pomôže náš prevodník jednotiek objemu. Najprirodzenejšou aplikáciou trigonometrie a goniometrických funkcií predstavuje výpočet trojuholníkov. Bežné aj menej bežné výpočty rôznych typov trojuholníkov ponúka naša trigonometrická kalkulačka trojuholníka. Slovo trigonometria pochádza z gréčtiny a doslovne znamená výpočet trojuholníka.

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Guľa a kúžel
    cone_in_sphere Do gule s polomerom G = 41 cm vpíšte kužel s najväčším objemom. Aký je tento objem a aké sú rozmery kužela?
  2. Kúžeľ
    diag22 Do rotačného kužeľa s rozmermi - polomerom podstavy R = 8 cm a výškou H = 8 cm vpíšte valec maximálneho objemu tak, aby os valca bola kolmá na os kužeľa. Určte rozmery valca.
  3. Prázdniny
    tabor V triede je 22 detí. Počas prázdnin bolo 12 detí v tábore a 19 detí na dovolenke s rodičmi. Určite minimálny a maximálny počet detí, ktoré mohli byť v tábore a aj na dovolenke s rodičmi súčasne.
  4. Minimum
    derive_1 Nájdite také kladné číslo, aby súčet tohto čísla a jeho prevrátenej hodnoty bol minimálny.
  5. Objem krabice
    box Tvrdý papier v tvare obdĺžnika má rozmery 60 cm a 28 cm. V rohoch sa odstrihnú rovnaké štvorce a zvyšok sa ohne do tvaru otvorenej krabice. Aká dlhá musí byť strana odstrihnutých štvorcov, aby objem krabice bol najväčší?
  6. Z9–I–1
    ctverec_mo Vo všetkých deviatich poliach obrazca majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo: • každé z čísel 2, 4, 6 a 8 je použité aspoň raz, • štyri z polí vnútorného štvorca obsahujú súčiny čísel zo susediacich polí vonkajšieho štvorca, • v kruhu je súče
  7. Socha
    michelangelo Na podstavci vysokom 4 m stojí socha vysoká 2.7 metrov. V akej vzdialenosti od sochy sa musí pozorovateľ postaviť, aby ju videl v najväčšom zornom uhle? Vzdialenosť oka pozorovateľa od zeme je 1.7 m.
  8. Paušál 2013
    istoty_komunisti Od roku 2013 plánuje vláda viac zdaniť živnostníkov. Namiesto 40% paušálnych výdavkov budú paušálne výdavky 40% hrubého príjmu maximálne 420 Eur. Vypočítajte koľko percent budú tvoriť paušálne výdavky podľa pravidiel v roku 2013 z hrubého príjmu 2437 Eur
  9. Rebrík
    rebrik_4 4m rebrík sa dotýka kocky 1mx1m postavené pri stene. Ako vysoko na stene dosiahne?
  10. Útvar
    some_airplane Rovinný útvar má obsah 677 mm2. Vypočítajte jeho obvod, ak jeho obvod je najmenší možný.
  11. Rolák
    venn_diagram V triede bolo 12 žiakov. Deviati mali oblečené nohavice a ôsmi rolák. Koľko žiakov malo oblečené nohavice s rolákom? Ak má úloha viacej riešení, napíšte ako interval od-do .
  12. Cifry
    numbers_2 Napíšte najmenšie a najväčšie 1-ciferné číslo.
  13. Tri čísla
    sigma Vytvorte z číslic 1 až 9 trojciferné čísla, tak že ich súčet bude najmenší. Aký hodnotu má súčet týchto čísel? (každú číslicu použite len raz)
  14. Keksy
    poleva V krabičke bolo celkom 200 sušienok. Pri ich výrobe pouzili cukrovú a čokoládovú polevu. Čokoládovú polevu použili do 157 sušienok. Cukrovú polevu použili do 100 sušienok. Koľko z týchto sušienok ma obe polevy?
  15. MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
    numbers2_32 Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane naj
  16. Kvetinárstvo
    kvetiny V kvetinárstve dostali 72 bielych a 90 červených ruží. Koľko kytíc môžu najviac zviazať zo všetkých týchto ruží, ak každá kytica má mať rovnaký počet bielych a červených ruží?
  17. Parkovisko
    car_11 Na parkovisku bolo 16 osobných automobilov. Bolo 10 modrých áut a 10 vozidiel Škoda. Koľko je na parkovisku modrých škodoviek?