Guľa a kúžel

Do gule s polomerom G = 41 cm vpíšte kužel s najväčším objemom. Aký je tento objem a aké sú rozmery kužela?

Výsledok

r =  38.66 cm
h =  54.67 cm
V =  85539.44 cm3

Riešenie:

G=41 cm V=13πr2h h=G+x=41+x G2=x2+r2 r2=G2x2 V=13π(G2x2)(G+x) V=13π(G3+G2xGx2x3)  V=13π(G22Gx3x2) V=0 G22Gx3x2=0 3x282x+1681=0 3x2+82x1681=0  a=3;b=82;c=1681 D=b24ac=82243(1681)=26896 D>0  x1,2=b±D2a=82±268966 x1,2=82±1646 x1,2=13.66666667±27.3333333333 x1=13.6666666667 x2=41   Sucinovy tvar rovnice:  3(x13.6666666667)(x+41)=0  h=G+x1=41+13.6666666667=54.6666666667 cm r=G2x12=38.66  cm  G = 41 \ cm \ \\ V = \dfrac13 \pi r^2 h \ \\ h = G + x = 41 +x \ \\ G^2 = x^2+r^2 \ \\ r^2 = G^2 - x^2 \ \\ V = \dfrac13 \pi (G^2 - x^2)(G+x) \ \\ V = \dfrac13 \pi (G^3 + G^2x - Gx^2 - x^3) \ \\ \ \\ V' = \dfrac13 \pi (G^2 - 2Gx - 3x^2) \ \\ V'=0 \ \\ G^2 - 2Gx - 3x^2=0 \ \\ -3x^2 -82x +1681 =0 \ \\ 3x^2 +82x -1681 =0 \ \\ \ \\ a=3; b=82; c=-1681 \ \\ D = b^2 - 4ac = 82^2 - 4\cdot 3 \cdot (-1681) = 26896 \ \\ D>0 \ \\ \ \\ x_{1,2} = \dfrac{ -b \pm \sqrt{ D } }{ 2a } = \dfrac{ -82 \pm \sqrt{ 26896 } }{ 6 } \ \\ x_{1,2} = \dfrac{ -82 \pm 164 }{ 6 } \ \\ x_{1,2} = -13.66666667 \pm 27.3333333333 \ \\ x_{1} = 13.6666666667 \ \\ x_{2} = -41 \ \\ \ \\ \text{ Sucinovy tvar rovnice: } \ \\ 3 (x -13.6666666667) (x +41) = 0 \ \\ \ \\ h = G + x_1 = 41 + 13.6666666667 = 54.6666666667 \ cm \ \\ r = \sqrt{ G^2 - x_1^2 } = 38.66 \ \text { cm } \ \\
h=41+13.6666666667=54.67  cm h=41 + 13.6666666667 = 54.67 \ \text { cm }
V=13πr2h=85539.44 cm3V = \dfrac13 \pi r^2 h = 85539.44 \ cm^3

Výpočet overte naším kalkulátorom kvadratických rovníc .




Naše príklady z veľkej miery nám poslali alebo vytvorili samotní žiaci a študenti. Preto budeme veľmi radi, ak prípadne chyby ktoré ste našli, pravopisné chyby alebo preštylizovanie príkladu nám prosím pošlete. Ďakujeme!





Napíšte nám komentár ku príkladu (úlohe) a jeho riešeniu (napríklad ak je stále niečo nejasné alebo máte iné riešenie, alebo príklad neviete vypočítať či riešenie je nesprávne...):

Zobrazujem 2 komentáre:
#
Žiak
Dobrý deň, mám pocit, že pri násobení dvoch zátvoriek pri výpočte vzorca na objem ste urobili chybu v znamienkach.

#
Dr Math
znamienko sme opravili; ale dalej vypocet bol uplne spravny...  dakujeme!

avatar









Hľadáte pomoc s výpočtom koreňov kvadratickej rovnice? Pytagorova veta je základ výpočtov aj kalkulačky pravouhlého trojuholníka.

Ďaľšie podobné príklady a úlohy:

  1. Guľa v kuželi
    sphere-in-cone Guľi o polomere 3 cm opíšte kužeľ minimálneho objemu. Určte jeho rozmery.
  2. Kúžeľ
    diag22 Do rotačného kužeľa s rozmermi - polomerom podstavy R = 8 cm a výškou H = 8 cm vpíšte valec maximálneho objemu tak, aby os valca bola kolmá na os kužeľa. Určte rozmery valca.
  3. Objem krabice
    box Tvrdý papier v tvare obdĺžnika má rozmery 60 cm a 28 cm. V rohoch sa odstrihnú rovnaké štvorce a zvyšok sa ohne do tvaru otvorenej krabice. Aká dlhá musí byť strana odstrihnutých štvorcov, aby objem krabice bol najväčší?
  4. Z9–I–1
    ctverec_mo Vo všetkých deviatich poliach obrazca majú byť vyplnené prirodzené čísla tak, aby platilo: • každé z čísel 2, 4, 6 a 8 je použité aspoň raz, • štyri z polí vnútorného štvorca obsahujú súčiny čísel zo susediacich polí vonkajšieho štvorca, • v kruhu je súče
  5. Socha
    michelangelo Na podstavci vysokom 4 m stojí socha vysoká 2.7 metrov. V akej vzdialenosti od sochy sa musí pozorovateľ postaviť, aby ju videl v najväčšom zornom uhle? Vzdialenosť oka pozorovateľa od zeme je 1.7 m.
  6. Cifry
    numbers_2 Napíšte najmenšie a najväčšie 1-ciferné číslo.
  7. MO Z8–I–3 - 2017 - Adelka
    numbers2_32 Adelka mala na papieri napísané dve čísla. Keď k nim pripísala ešte ich najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok, dostala štyri rôzne čísla menšie ako 100. S úžasom zistila, že keď vydelí najväčšie z týchto štyroch čísel najmenším, dostane naj
  8. Prázdniny
    tabor V triede je 22 detí. Počas prázdnin bolo 12 detí v tábore a 19 detí na dovolenke s rodičmi. Určite minimálny a maximálny počet detí, ktoré mohli byť v tábore a aj na dovolenke s rodičmi súčasne.
  9. Paušál 2013
    istoty_komunisti Od roku 2013 plánuje vláda viac zdaniť živnostníkov. Namiesto 40% paušálnych výdavkov budú paušálne výdavky 40% hrubého príjmu maximálne 420 Eur. Vypočítajte koľko percent budú tvoriť paušálne výdavky podľa pravidiel v roku 2013 z hrubého príjmu 2437 Eur
  10. Rebrík
    rebrik_4 4m rebrík sa dotýka kocky 1mx1m postavené pri stene. Ako vysoko na stene dosiahne?
  11. Útvar
    some_airplane Rovinný útvar má obsah 677 mm2. Vypočítajte jeho obvod, ak jeho obvod je najmenší možný.
  12. Rolák
    venn_diagram V triede bolo 12 žiakov. Deviati mali oblečené nohavice a ôsmi rolák. Koľko žiakov malo oblečené nohavice s rolákom? Ak má úloha viacej riešení, napíšte ako interval od-do .
  13. Tri čísla
    sigma Vytvorte z číslic 1 až 9 trojciferné čísla, tak že ich súčet bude najmenší. Aký hodnotu má súčet týchto čísel? (každú číslicu použite len raz)
  14. Keksy
    poleva V krabičke bolo celkom 200 sušienok. Pri ich výrobe pouzili cukrovú a čokoládovú polevu. Čokoládovú polevu použili do 157 sušienok. Cukrovú polevu použili do 100 sušienok. Koľko z týchto sušienok ma obe polevy?
  15. Kvetinárstvo
    kvetiny V kvetinárstve dostali 72 bielych a 90 červených ruží. Koľko kytíc môžu najviac zviazať zo všetkých týchto ruží, ak každá kytica má mať rovnaký počet bielych a červených ruží?
  16. Parkovisko
    car_11 Na parkovisku bolo 16 osobných automobilov. Bolo 10 modrých áut a 10 vozidiel Škoda. Koľko je na parkovisku modrých škodoviek?
  17. Minimum
    derive_1 Nájdite také kladné číslo, aby súčet tohto čísla a jeho prevrátenej hodnoty bol minimálny.